TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 241

Man berechne

$\int x\arctan(x)dx$.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

$\arctan(x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Lösungsvorschlag

mit Hilfe der Partiellen Integration ergibt sich

$\int x\arctan(x)dx={\frac {x^{2}}{2}}\arctan(x)-\int {\frac {x^{2}}{2}}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx$

Nun betrachtet man das hintere Integral:

$-\int {\frac {x^{2}}{2}}{\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\int {\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\,dx$

und mit einem kleinen Trick ergibt sich:

$-{\frac {1}{2}}\int {\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {1+x^{2}-1}{1+x^{2}}}\,dx=-{\frac {1}{2}}\int \left(1-{\frac {1}{1+x^{2}}}\right)\,dx=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2}}\arctan x+c$

Zusammen ergibt das nun:

$\int x\arctan(x)dx={\frac {x^{2}}{2}}\arctan(x)-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2}}\arctan x+c=\left({\frac {x^{2}+1}{2}}\right)\arctan x-{\frac {x}{2}}+c$

Links

• Siehe Beispiel 464 in Mathe 1!
• http://www.matheraum.de/read?t=98076
• http://henry78.at/wordpress/wp-content/uploads/2007/10/mathe2_ws08_ue2_v3.pdf