TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 74

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 232. Vergleich

Angabe

Man berechne:

$\int \frac{e^x-1}{e^{2x}+1}dx$

Lösungsvorschlag von Me.Name

erster schritt Aufteilung des Integrals in 2 Teilintegrale

$\int \frac{e^x-1}{e^{2x}+1}dx=\int \frac{e^x}{e^{2x}+1}dx-\int \frac{1}{e^{2x}+1}dx$

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linker Teil:

$\int \frac{e^x}{e^{2x}+1}dx$

mit Substitution : $u=e^x=>dx=\frac{du}{e^x}=\frac{du}{u}$

$\int \frac{u}{u^2+1}\ast \frac{du}{u}=\int \frac{1}{u^2+1}=arctan(u)=arctan(e^x)$

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rechter Teil:

$-\int \frac{1}{e^{2x}+1}dx$

mit Substitution : $v=2x=>dx=\frac{dv}{2}$

$-\int \frac{1}{e^v+1}\ast \frac{dv}{2}=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{e^v+1}dv$

mit Substitution: $w=e^v=>dw=\frac{dw}{e^v}=\frac{dw}{w}$

$-\frac{1}{2}\int \frac{1}{w+1}\ast \frac{dw}{w}=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{w\ast (w+1)}dw$

jetzt noch Partialbruchzerlegung

$\frac{1}{w\ast (w+1)}=\frac{A}{w}+\frac{B}{w+1}$

=> A=1; B =-1

$-\frac{1}{2}\int \frac{1}{w}dw-\int \frac{1}{w+1}dw$

$-\frac{1}{2}\ast \ln |w|+\frac{1}{2}\ast \ln |w+1|=-\frac{1}{2}\ast \ln |e^v|+\frac{1}{2}\ast \ln |e^v+1|=-\frac{1}{2}\ast \ln |e^{2x}|+\frac{1}{2}\ast \ln |e^{2x}+1|$

$=-x+\frac{1}{2}\ast \ln |e^{2x}+1|$

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zusammensetzen:

$arctan(e^x)-x+\frac{1}{2}\ast \ln |e^{2x}+1|$