TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 74

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 232. Vergleich

Angabe

Man berechne:

$\int {\frac {e^{x}-1}{e^{2x}+1}}\,dx$

Lösungsvorschlag von Me.Name

erster schritt Aufteilung des Integrals in 2 Teilintegrale

$\int {\frac {e^{x}-1}{e^{2x}+1}}\,dx=\int {\frac {e^{x}}{e^{2x}+1}}dx-\int {\frac {1}{e^{2x}+1}}dx$

_________________________________________________

linker Teil:

$\int {\frac {e^{x}}{e^{2x}+1}}dx$

mit Substitution : $u=e^{x}=>dx={\frac {du}{e^{x}}}={\frac {du}{u}}$

$\int {\frac {u}{u^{2}+1}}*{\frac {du}{u}}=\int {\frac {1}{u^{2}+1}}=arctan(u)=arctan(e^{x})$

_________________________________________________

rechter Teil:

$-\int {\frac {1}{e^{2x}+1}}dx$

mit Substitution : $v=2x=>dx={\frac {dv}{2}}$

$-\int {\frac {1}{e^{v}+1}}*{\frac {dv}{2}}=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{e^{v}+1}}dv$

mit Substitution: $w=e^{v}=>dw={\frac {dw}{e^{v}}}={\frac {dw}{w}}$

$-{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{w+1}}*{\frac {dw}{w}}=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{w*(w+1)}}dw$

jetzt noch Partialbruchzerlegung

${\frac {1}{w*(w+1)}}={\frac {A}{w}}+{\frac {B}{w+1}}$

=> A=1; B =-1

$-{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{w}}dw-\int {\frac {1}{w+1}}dw$

$-{\frac {1}{2}}*\ln {|w|}+{\frac {1}{2}}*\ln {|w+1|}=-{\frac {1}{2}}*\ln {|e^{v}|}+{\frac {1}{2}}*\ln {|e^{v}+1|}=-{\frac {1}{2}}*\ln {|e^{2x}|}+{\frac {1}{2}}*\ln {|e^{2x}+1|}$

$=-x+{\frac {1}{2}}*\ln {|e^{2x}+1|}$

_________________________________________________

zusammensetzen:

$arctan(e^{x})-x+{\frac {1}{2}}*\ln {|e^{2x}+1|}$