TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 284

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren:

$\sum _{n\ge 1}\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungsvorschlag von Psygate

$\sum _{n\ge 1}f(n)⟺{\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$

$\sum _{n\ge 1}\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}⟺{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$

$u=\sqrt{x}$

daraus folgt: $dx=2u.du$

$\int \frac{e^{-u}2u}{u}.du=2\int e^{-u}du$ $=2-e^{-u}=-2e^{-\sqrt{x}}$

$-2e^{-\sqrt{x}}$ bei 1 ist $\frac{-2}{e}$ und bei $\mathrm{\infty }$ gleich 0. Also konvergiert sowohl das Integral als auch die Summe.

--Psygate 20:22, 24. Mär. 2010 (CET)