TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 102

Man bestimme die Funktionalmatrix zu $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$:

$f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{\frac{x-z}{y+1}}}{z\cdot e^{-\frac{x}{y}}})$

Hilfreiches

Funktionalmatrix

Funktionalmatrix

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, d.h. $f(x_1,\dots ,x_n)\doteq \left(\begin{array}{c}{f}_1(x_i)\\ ⋮\\ f_m(x_i)\end{array}\right)$:

$J_f=\frac{\partial f}{\partial x}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right)$

Lösung

lt. Prof Urbanek

Zuerst ersetzt man die 2 Funktionen durch einen allgemeinen Ausdruck g und h. Die Funktionsmatrix A ist dann eine 3*2 Matrix (Spalten, Reihen) und leitet dann die Funktionen jeweils nach x, y und z ab.

  $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{g}{h})$ gibt die Funktionalmatrix  A $=(\genfrac{}{}{0ex}{}{g.dx|g.dy|g.dz}{h.dx|h.dy|h.dz})$

Nächster Schritt ist das Ableiten der Funktionen nach x,y,z, äußere Ableitung mal der inneren Ableitung.

g.dx =  $\frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot \frac{1}{y+1}$    g.dy =  $\frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot \frac{-x+z}{(y+1{)}^2}$     g.dz =  $\frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot \frac{-1}{y+1}$

h.dx =  $z\cdot e^{-\frac{x}{y}}\cdot -\frac{1}{y}$        h.dy =  $z\cdot e^{-\frac{x}{y}}\cdot \frac{x}{y^2}$           h.dz =  $e^{-\frac{x}{y}}$

Am Ende einsetzen in die Matrix lt. obigem Schema, fertig.

-Hapi

--- Anmerkung: mmn gehört bei h.dy das minus weg

Ableitung nach y: $z\cdot e^{\frac{-x}{y}}=z\cdot -x\cdot -1\cdot y^{-2}\cdot e^{\frac{-x}{y}}=z\cdot \frac{x}{y^2}\cdot e^{\frac{-x}{y}}$

Ableitung der Wurzel korrigiert --W1n5t0n 18:30, 18. Nov. 2009 (CET)

Update Mai 2010: die ableitung unter der wurzel dürfte falsch sein, siehe: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28%28x-z%29%2F%28y%2B1%29%29

Links

• Funktionalmatrix auf Wikipedia

• Diskussion im Informatikforum

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