TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 337

Man bestimme die Funktionalmatrix zu $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ :
$f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={{\frac {x}{y^{2}z}} \choose x^{y}z^{2}}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionalmatrix

Funktionalmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ , d.h. $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\doteq {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{i})\\\vdots \\f_{m}(x_{i})\end{pmatrix}}$ :

J_{f}={\frac {\partial f}{\partial x}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}

Lösungsvorschlag von Wolf-gang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(1 zu 1 kopiert von Oasics Lösungsvorschlag in TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 100 (entspricht SS08 Beispiel 103), nur Werte eingesetzt)

Die Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix) ist eine Matrix der partiellen Ableitungen der Funktionen.

$f'(x,y,z)=\left({\frac {\partial {f_{i}}}{\partial {x_{j}}}}\right)_{i=1\ldots 2,j=1\ldots 3}$

Nun muss man alle partiellen Ableitungen bilden.

$g(x,y,z)={\frac {x}{y^{2}\cdot z}}$

$g_{x}={\frac {1}{y^{2}\cdot z}}$

$g_{y}=-{\frac {2x}{y^{3}\cdot z}}$

$g_{z}=-{\frac {x}{y^{2}\cdot z^{2}}}$

$h(x,y,z)=x^{y}\cdot z^{2}$

$h_{x}=y\cdot x^{y-1}\cdot z^{2}$

$h_{y}=x^{y}\cdot ln(x)\cdot z^{2}$

$h_{z}=2\cdot x^{y}\cdot z$

Nun müssen die Ableitungen noch in die Matrix eingesetzt werden. Das funktioniert nach folgendem Schema.

$J_{f}={\begin{pmatrix}g_{x}&g_{y}&g_{z}\\h_{x}&h_{y}&h_{z}\end{pmatrix}}$

Für das Beispiel bedeutet dies:

$J_{f}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{y^{2}\cdot z}}&-{\frac {2x}{y^{3}\cdot z}}&-{\frac {x}{y^{2}\cdot z^{2}}}\\y\cdot x^{y-1}\cdot z^{2}&x^{y}\cdot ln(x)\cdot z^{2}&2\cdot x^{y}\cdot z\end{pmatrix}}$