TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 321

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Man bestimme die Funktionalmatrix zu  f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2:

f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}={\sqrt{\frac{x-z}{y+1}} \choose z\cdot e^{-\frac{x}{y}}}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Funktionalmatrix[Bearbeiten]

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, d.h. f(x_1,\ldots,x_n)\doteq\begin{pmatrix}f_1(x_i)\\\vdots\\f_m(x_i)\end{pmatrix}:

J_f=\frac{\partial f}{\partial x}= 
\begin{pmatrix}
 \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & 
 \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & 
 \ldots & 
 \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
 \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & 
 \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & 
 \ldots & 
 \frac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}

Lösung[Bearbeiten]

lt. Prof Urbanek

Zuerst ersetzt man die 2 Funktionen durch einen allgemeinen Ausdruck g und h. Die Funktionsmatrix A ist dann eine 3*2 Matrix (Spalten, Reihen) und leitet dann die Funktionen jeweils nach x, y und z ab.

  f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}={g \choose h} gibt die Funktionalmatrix  A ={g.dx | g.dy | g.dz \choose h.dx | h.dy | h.dz} 

Nächster Schritt ist das Ableiten der Funktionen nach x,y,z, äußere Ableitung mal der inneren Ableitung.

g.dx =  \frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot\frac{1}{y+1}    g.dy =  \frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot\frac {-x+z}{(y+1)^2}     g.dz =  \frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot\frac{-1}{y+1}
h.dx =   z\cdot e^{-\frac{x}{y}} \cdot -\frac{1}{y}         h.dy =   z\cdot e^{-\frac{x}{y}} \cdot \frac{x}{y^2}            h.dz =    e^{-\frac{x}{y}}  

Am Ende einsetzen in die Matrix lt. obigem Schema, fertig.

-Hapi

--- Anmerkung: mmn gehört bei h.dy das minus weg

Ableitung nach y: z \cdot e^{\frac{-x}{y}} = z \cdot -x \cdot -1 \cdot y^{-2} \cdot e^{\frac{-x}{y}} = z \cdot \frac{x}{y^2} \cdot e^{\frac{-x}{y}}

Ableitung der Wurzel korrigiert --W1n5t0n 18:30, 18. Nov. 2009 (CET)

Update Mai 2010: die ableitung unter der wurzel dürfte falsch sein, siehe: www.wolframalpha.com/input/?i=Kackwurst

Lösungsvorschlag von Aeroleeds[Bearbeiten]

Datei:Analysis Bsp.331.pdf

Links[Bearbeiten]