TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 338

Man bestimme die Funktionalmatrix zu $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$:

$f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{\frac{x-z}{y+1}}}{z\cdot e^{-\frac{x}{y}}})$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Funktionalmatrix

Funktionalmatrix

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, d.h. $f(x_1,\dots ,x_n)\doteq \left(\begin{array}{c}{f}_1(x_i)\\ ⋮\\ f_m(x_i)\end{array}\right)$:

$J_f=\frac{\partial f}{\partial x}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right)$

Lösung

lt. Prof Urbanek

Zuerst ersetzt man die 2 Funktionen durch einen allgemeinen Ausdruck g und h. Die Funktionsmatrix A ist dann eine 3*2 Matrix (Spalten, Reihen) und leitet dann die Funktionen jeweils nach x, y und z ab.

  $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{g}{h})$ gibt die Funktionalmatrix  A $=(\genfrac{}{}{0ex}{}{g.dx|g.dy|g.dz}{h.dx|h.dy|h.dz})$

Nächster Schritt ist das Ableiten der Funktionen nach x,y,z, äußere Ableitung mal der inneren Ableitung.

g.dx =  $\frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot \frac{1}{y+1}$    g.dy =  $\frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot \frac{-x+z}{(y+1{)}^2}$     g.dz =  $\frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot \frac{-1}{y+1}$

h.dx =  $z\cdot e^{-\frac{x}{y}}\cdot -\frac{1}{y}$        h.dy =  $z\cdot e^{-\frac{x}{y}}\cdot \frac{x}{y^2}$           h.dz =  $e^{-\frac{x}{y}}$

Am Ende einsetzen in die Matrix lt. obigem Schema, fertig.

-Hapi

--- Anmerkung: mmn gehört bei h.dy das minus weg

Ableitung nach y: $z\cdot e^{\frac{-x}{y}}=z\cdot -x\cdot -1\cdot y^{-2}\cdot e^{\frac{-x}{y}}=z\cdot \frac{x}{y^2}\cdot e^{\frac{-x}{y}}$

Ableitung der Wurzel korrigiert --W1n5t0n 18:30, 18. Nov. 2009 (CET)

Update Mai 2010: die ableitung unter der wurzel dürfte falsch sein, siehe: www.wolframalpha.com/input/?i=Kackwurst

Lösungsvorschlag von Aeroleeds

Datei:Analysis Bsp.331.pdf

Links

• Funktionalmatrix auf Wikipedia

• Diskussion im Informatikforum

• Ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 79
  • TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 80
  • TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 82