TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 338

Man bestimme die Funktionalmatrix zu $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ :
$f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={{\sqrt {\frac {x-z}{y+1}}} \choose z\cdot e^{-{\frac {x}{y}}}}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionalmatrix

Funktionalmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ , d.h. $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\doteq {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{i})\\\vdots \\f_{m}(x_{i})\end{pmatrix}}$ :

J_{f}={\frac {\partial f}{\partial x}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

lt. Prof Urbanek

Zuerst ersetzt man die 2 Funktionen durch einen allgemeinen Ausdruck g und h. Die Funktionsmatrix A ist dann eine 3*2 Matrix (Spalten, Reihen) und leitet dann die Funktionen jeweils nach x, y und z ab.

   $f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={g \choose h}$  gibt die Funktionalmatrix  A  $={g.dx|g.dy|g.dz \choose h.dx|h.dy|h.dz}$

Nächster Schritt ist das Ableiten der Funktionen nach x,y,z, äußere Ableitung mal der inneren Ableitung.

g.dx =   ${\frac {1}{2{\sqrt {\frac {y+1}{x-z}}}}}\cdot {\frac {1}{y+1}}$     g.dy =   ${\frac {1}{2{\sqrt {\frac {y+1}{x-z}}}}}\cdot {\frac {-x+z}{(y+1)^{2}}}$      g.dz =   ${\frac {1}{2{\sqrt {\frac {y+1}{x-z}}}}}\cdot {\frac {-1}{y+1}}$

h.dx =   $z\cdot e^{-{\frac {x}{y}}}\cdot -{\frac {1}{y}}$         h.dy =   $z\cdot e^{-{\frac {x}{y}}}\cdot {\frac {x}{y^{2}}}$            h.dz =   $e^{-{\frac {x}{y}}}$