TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 137

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Zeigen Sie: Sind g_1(x), \ldots, g_m(x) differenzierbar und g_j(x) \ne 0 für alle j, so gilt

 \frac{(\prod_{j=1}^{m} g_j(x)) '}{ \prod_{j=1}^{m} g_j(x) } =  \sum_{j=1}^{m} \frac{g_j'(x)} {g_j(x)}

Lösungsvorschlag von steini[Bearbeiten]


    \frac{(\prod_{j=1}^m g_j(x)) '}{ \prod_{j=1}^m g_j(x) } =
    \frac{(g_1(x) \cdot g_2(x) \cdot g_3(x) \cdots g_m(x))'}{g_1(x) \cdot g_2(x) \cdot g_3(x) \cdots g_m(x)}

Man substituiert mit f(x) = g_2(x) \cdot g_3(x) \cdots g_m(x) und differenziert dann den Zähler mit der Produktregel:


    =\frac{(g_1(x) \cdot f(x))'}{g_1(x) \cdot f(x)} = \frac{g_1'(x) \cdot f(x) + g_1(x) \cdot f'(x)}{g_1(x) \cdot f(x)} = 
    \frac{g_1'(x) \cdot f(x)}{g_1(x) \cdot f(x)} + \frac{g_1(x) \cdot f'(x)}{g_1(x) \cdot f(x)} =
    \frac{g_1'(x)}{g_1(x)} + \frac{f'(x)}{f(x)}

Rücksubstitution:


   = \frac{g_1'(x)}{g_1(x)} + \frac{(g_2(x) \cdot g_3(x) \cdots g_m(x))'}{g_2(x) \cdot g_3(x) \cdots g_m(x)}

Nun könnte man die Substitution beim rechten Term mit f(x) = g_3(x) \cdots g_m(x) wiederholen und dann immer wieder so lange, bis f(x) = g_m(x). Schlussendlich erhält man die rechte Seite der Angabe:

    \frac{g_1'(x)}{g_1(x)} + \frac{g_2'(x)}{g_2(x)} + \frac{g_3'(x)}{g_3(x)} + \cdots + \frac{g_m'(x)}{g_m(x)} =
    \sum_{j=1}^{m} \frac{g_j'(x)} {g_j(x)}