TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 157

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Angabe[edit]

Berechnen Sie das Gebietsintegral: \int \int_B \sin(x+y)\, dx \, dy, \, \, \, B \subseteq \mathbb{R}^2 ist das Quadrat mit den Eckpunkten (0,0), (0,\pi), (\pi,0), (\pi,\pi).


Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Nicht ganz korrekter Lösungsvorschlag[edit]

Nicht ganz korrekter Lösungsvorschlag, welcher die Flächen ober- und unterhalb der x-Achse einfach zusammenzählt und dadurch "nivelliert".

\int_0^\pi \int_0^\pi \sin(x+y) \, \, dx \, \, dy = 2 \cdot \int_0^\pi \cos y \, \, dy = 2 \cdot \sin y |_0^\pi = 2\cdot (0 - 0) = 0

Zwischenschritt: \int_0^\pi \sin(x+y) \, \, dx = \underbrace{-cos(\pi + y)}_{=\cos y} + \cos y = 2 \cdot \cos y

Korrekter Lösungsweg[edit]

Die Integration im "inkorrekten Lösungsweg stimmt, bis auf die Grenzen. Betrachten wir 2 \int_0^\pi \cos(y) \, \, dy . Wir schauen uns die Cosinuskurve im Bereich der Integrationsgrenzen an:

MA2 62.png

Wir müssen nun die Gesamtfläche durch A = A1 - A2 (A2 ist negativ) berechnen, siehe auch diesen Link.

Somit müssen wir wie folgt integrieren: 2 \cdot (\int_0^{\pi/2} \cos(y) \, \, dy - \int_{\pi/2}^{\pi} \cos(y) \, \, dy) = 2 \cdot (\sin y|_0^{\pi/2} - \sin y|_{\pi/2}^\pi) = 2

Kontrolle mit MATLAB (symbolic toolbox)[edit]

>> syms x y;

>> f=sin(x+y);

>> F=int(f,x,0,pi)

F =

2*cos(y)


>> Fe = int(F,y,0,pi/2)

Fe =

1

usw.

Anmerkung von Sonni[edit]

Aufgabenstellung war das Integral zu berechnen und nicht das Volumen. Somit ist der "Nicht ganz korrekte Lösungsvorschlag" korrekter als der "Korrekte Lösungsweg". In zweiterem nehmen wir den Bereich A2 betragsmäßig in die Summe, was jedoch nur bei Volumenberechnungen gemacht werden darf. Ich danke für diese Aufklärung der Tutorin Elisabeth Fink.

Links[edit]

Ähnliche Beispiele:

Websites[edit]

Informatikforum[edit]

Andere Websites[edit]


Quelle[edit]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 62 / SS07 Beispiel 124