TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 82

Berechnen Sie das folgende Gebietsintegral:

$\iint \limits _{B}{\frac {x-y}{x+y}}\;dx\;dy$, $B\subset \mathbb {R} ^{2}$ ist das Dreieck mit den Eckpunkten (2,2), (3,2), (3,3).

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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungsvorschläge

Lösungsvorschlag von Jose

Dreieck gegeben durch die Punkte

$A(2/2),B(3/2),C(3/3)$

Aufstellen der Geradengleichungen

$AC:y=x$

$BC:x=3$

$AB:y=2$

Lösungsvorschlag von Apfelsaft

Ich setze hier einfach mal dort fort wo Jose aufgehört hat. Grenzen: 2-3 für x und 2-x für y

partielle integration:

info: integral ln(x+y)=(x+y)*ln(x+y)-y (hab ich mit Maxima berechnet. Kann man auch händisch mit Substitution machen. Dann hat man allerdings noch ein -x hinten dran, was aber fürs Ergebnis keinen Unterschied machen dürfte da es in diesem Fall eine Konstante ist. Sieht man auch ganz einfach wenn man beide Varianten dirfferenziert. Siehe auch Diskussion im Informatik-Forum Posts 4 bis 8.

$\int _{2}^{3}((x-y)*ln(x+y)-\int -1*ln(x+y)dy)dx=$

$\int _{2}^{3}(2x*ln(x+y)-y)|_{2}^{x}dx$

$\int _{2}^{3}2x*ln(2x)-x-2x*ln(x+2)+2dx$

Das ganze habe ich jetzt in 4 Teile aufgespalten und einzeln integriert:

1.Teil: partielle Integration $\int 2x*ln(2x)dx=x^{2}*ln(2x)-\int {\frac {1}{x}}*x^{2}dx=x^{2}*ln(2x)-{\frac {{x}^{2}}{2}}$

Kleiner Hinweis. Da hier des öfteren angemerkt wurde ich hätte beim differenzieren von ln(2x) den zweier übersehen: Innere Ableitung nicht vergessen ;-)

2.Teil: $\int xdx={\frac {{x}^{2}}{2}}$

3.Teil: $\int 2x*ln(x+2)=ln(x+2)*x^{2}-\int {\frac {1}{x+2}}*x^{2}=$

3.1.: $\int {\frac {1}{x+2}}*x^{2}$

substitution:

$x+2=u\to x=u-2{\frac {du}{dx}}=1$

$\int {\frac {u^{2}-4u+4}{u}}du={\frac {u^{2}}{2}}-4u+4*ln(u)$

für u einsetzten:

${\frac {x^{2}}{2}}-2x-6+4*ln(x+2)$

weiter bei 3.: $\int 2x*ln(x+2)=ln(x+2)*x^{2}-{\frac {x^{2}}{2}}+2x+6-4*ln(x+2)=$ $(x^{2}-4)*ln(x+2)-{\frac {x^{2}}{2}}+2x+6$

4.Teil: $\int 2dx=2x$

Und jetzt nur noch einsetzen.

Links

• Lösung im Informatik-Forum (SS08)
• Diskussion im Informatik-Forum (SS07)
• Diskussion im Informatik-Forum (SS06) SS07 Beispiel 125

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