TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 132

Parametrisieren Sie folgende Kurve nach der Bogenlänge:

$x(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{4}{3}(t+1{)}^{3/2}}{t^2/2}),t\ge 0$.

Hilfreiches

Bogenlänge

Bogenlänge

Bogenlänge einer ebenen Kurve: $s={\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y{\text{'}}^2}dx$

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Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung: $\overrightarrow{x}(t)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
$s={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}dt$

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Bogenlänge einer Raumkurve: $s={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2}dt$

Lösungsvorschlag neu aus mmvc SS20

$x(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{4}{3}(t+1{)}^{3/2}}{t^2/2}),t\ge 0$
Die allgemeine Formel für die Bogenlänge lautet $s={\int }_a^b||c^{\prime }(t)||dt$
Parametrisierung nach der Bogenlänge bedeutet, dass bei einer Kurve $c(t)$ für alle Parameterwerte $||c^{\prime }(t)||=1$ gilt. Die Kurve ist dann nach der Bogenlänge parametrisiert.

Eine Sonderform der allgemeinen Bogenlängenformel, $s={\int }_a^b\sqrt{1+(c^{\prime }(t){)}^2}dt$, die häufig verwendet wird, kann hier nicht verwendet werden. Sie wird nur im Spezialfall verwendet, wenn man für eine "herkömmliche" Funktion $f(t)$ die Bogenlänge im Intervall $[a,b]$ berechnen möchte, und dafür letztendlich $\overrightarrow{c}(t)=\left(\begin{array}{c}t\\ f(t)\end{array}\right)$ annimmt.

Allgemein wird so oder so die Formel für die sogenannte Euklidische Norm verwendet, nämlich $||c(t)||=\sqrt{a^2+b^2+\mathrm{...}+n^2}$ für $c(t)=\left(\begin{array}{c}a(t)\\ b(t)\\ \mathrm{...}\\ n(t)\end{array}\right)$.

Soviel zum nötigen Vorwissen, welches wir nun für die eigentliche Aufgabe verwenden können:

Zuerst leiten wir die Stammfunktion ab: $x^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\frac{4}{3}(t+1{)}^{\frac{1}{2}}\\ \frac{2t}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\sqrt{t+1}\\ t\end{array}\right)$

Als nächstes setzen wir diese Ableitung in die Formel für die Euklidische Norm ein und erhalten: $||x^{\prime }(t)||=\sqrt{(2\sqrt{t+1}{)}^2+t^2}=\sqrt{4(t+1)+t^2}=\sqrt{4+4t+t^2}$ und erkennen dass es sich hierbei um eine binomische Formel handelt und wir sie nach $||x^{\prime }(t)||=\sqrt{(2+t{)}^2}$ und damit $||x^{\prime }(t)||=2+t$ umformen können.

Das erleichtert die restliche Aufgabe enorm, denn jetzt benötigt man für das Ausrechnen des Integrals weder eine Substitution noch sonstige Kopfschmerzen:
$s(t)={{\int }_0^{t}2+tdt=2t+\frac{t^2}{2}|}_0^t=2t+\frac{t^2}{2}$ und wir sind fertig. Für die untere Grenze wurde 0 eingesetzt, da in der Angabe so gegeben, für die obere wird bei der Parametrisierung nach Bogenlänge der Parameter t selbst genommen.

Lösungsvorschlag

(Ich, der den Lösungsvorschlag von mmvc SS20 verfasst hat, denke dass dieser Lösungsvorschlag komplett falsch ist).

lt. Prof Urbanek (under construction)
Anmerkung superphil0: ACHTUNG falsch abgeleitet: richtig (2*(t+1)^1/2) + t Anmerkung phpwutz(): Wolfram Alpha sagt: 2* wurzel(t+1)
Parametrisieren meint hier, die Funktion abhängig von der Bogenlänge auszudrücken (also $f(s)=\dots$):

Bogenlänge $s=\int \sqrt{(\frac{4}{3}(t+1{)}^{3/2}){\text{'}}^2+(t^2/2){\text{'}}^2}=$

Mit der Angabe "$t\ge 0$" ist nur die untere Integrationsgrenze definiert. Falls wir bis $\mathrm{\infty }$ integrieren würden, wäre die Bogenlänge natürlich auch $\mathrm{\infty }$; daher "erfinden" wir zunächst eine willkürliche obere Grenze $u$:

$={\int }_0^u\sqrt{(t^2)+(2t+1)}dt$ $={\int }_0^u\sqrt{(t+1{)}^2}dt=$

$={\frac{t^2}{2}+t|}_0^u$

Grenzen einsetzen:

$s=\frac{u^2}{2}+u$

$u^2+2u-2s=0$

Kleine Lösungsformel

Kleine Lösungsformel

$x^2+px+q=0⟹x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

$u=-\frac{2}{2}\pm \sqrt{\frac{4}{4}+2s}$

$u=-1\pm \sqrt{1+2s}$

(Die negative Wurzel kann man gleich wieder vergessen, da $(-1)-\sqrt{\dots }<0$, und somit sicher nicht im geforderten Wertebereich liegt.)

Damit haben wir das oben eingeführte $u$ als Funktion von $s$ ausgedrückt, und können insgesamt schreiben:

Links

• Diskussion im Informatik-Forum (Montag)
• Diskussion im Informatik-Forum (Donnerstag)
• Diskussion im Informatik-Forum (WS07 Beispiel 178)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 131 (ähnliches Beispiel)