TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 220

Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man die nachstehende Integrationsregel

$\int {\frac {u'(x)}{u(x)}}\,\mathrm {d} x=\ln \mid u(x)\mid +C$

und berechne damit $\int {\frac {dx}{x\ln x}}$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösung von alexxx

Substitution:

$u(x)=t$

$dx={\frac {dt}{u'(x)}}$

Einsetzen:

$\int {\frac {u'(x)}{t*u'(x)}}dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |t|=\ln |u(x)|+C$

QED

$\int {\frac {dx}{x\ln |x|}}=$

Substitution:

$\ln |x|=t$

$dx=xdt$

$\int {\frac {xdt}{xt}}=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |t|=\ln |\ln |x||+C$

Lösungsvorschlag

$f(x)={\frac {1}{x}}$

$F(x)=\ln \left|x\right|$

${\begin{aligned}\int {\frac {u'(x)}{u(x)}}\,\mathrm {d} x&=\int f(u(x))\cdot u'(x)\,\mathrm {d} x\\&=F(u(x))+C\\&=\ln \left|u(x)\right|+C\end{aligned}}$

$u(x)=\ln x$, $u'(x)={\frac {1}{x}}$

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{xlnx}}&=\int {\frac {\frac {1}{x}}{\ln x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {u'(x)}{u(x)}}\,\mathrm {d} x\\&=\ln \left|u(x)\right|+C\\&=\ln \left|\ln x\right|+C\end{aligned}}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum

Quelle

SS 08 Beispiel 26

Karigl Beispielsammlung SS06 Beispiel 52