TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 238

Man berechne:

$\int \frac{dx}{2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$

$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

$\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}& =\frac{1}{2}\int \frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}dx\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}dx\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}+\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}dx\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx\\ & =\frac{1}{2}(\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx+\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx)\\ & =\frac{1}{2}(\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\sin x})+c\\ & =\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{2\sin x\cos x}+c\\ & =\frac{{\sin }^{2}x-(1-{\sin }^{2}x)}{2\sin x\cos x}+c\\ & =\frac{2{\sin }^{2}x-1}{2\sin x\cos x}+c\end{array}$