Man berechne ![{\displaystyle \int x\cdot \arcsin x\;dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=092eae9e9cc5bbd1c0f5836b26d659c4&mode=mathml)
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
- Substitutionsregel
mit
(Satz 5.41)
- Partielle_Integration
Partielle Integration[Bearbeiten, Wikipedia, 5.41 Satz]
alias
Folgende Formeln sind zum Lösen notwendig (Die Herleitung ist weiter unten beschrieben)
![{\displaystyle \int \arcsin x\;dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+c}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ecd952350e61c495d2d1200b21f52392&mode=mathml)
![{\displaystyle \int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x)+c}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=27de82e716cb5f262f40f8ac20610882&mode=mathml)
Durch Anwendung der partiellen Integration bekommt man:
![{\displaystyle \int x\arcsin x\;dx=x(x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}})-\int x\arcsin x\;dx-\int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=64de0ab2384d645c5031a725db77f973&mode=mathml)
(nicht ganz) überraschender Weise findet sich das gesuchte Integral auch auf der rechten Seite der Gleichung - wir bringen den Term einfach nach links (und lösen das andere Integral auf):
![{\displaystyle 2\cdot \int x\arcsin x\;dx=x(x\ \arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}})-{\frac {1}{2}}(x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=793b195784fdbc02622dca45993dbb25&mode=mathml)
Jetzt einfach nur noch unformen:
![{\displaystyle \int x\arcsin x\;dx={\frac {1}{2}}(x^{2}\arcsin x+x{\sqrt {1-x^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{2}}-{\frac {\arcsin x}{2}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=70ed00fa120f51875c8e37cd9d2e6874&mode=mathml)
![{\displaystyle \int x\arcsin x\;dx={\frac {1}{4}}(2x^{2}\arcsin x+x{\sqrt {1-x^{2}}}-\arcsin x)+c}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c49cc7edf178e5098c2d4682fdcc8e93&mode=mathml)
Die erste Nebenrechnung zeigt:
![{\displaystyle \int \arcsin x\;dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=41b34f7c1bf8d4beacde3f6c32e99711&mode=mathml)
Wir substituieren:
![{\displaystyle x=\sin t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4c317ad17d81969408f21c03ed1ec570&mode=mathml)
![{\displaystyle \;dx=\cos t\;dt}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7f398e147ccc99a4e7d03da82dc9bcab&mode=mathml)
und lösen daher:
![{\displaystyle \int \arcsin(\sin t)\cos t\;dt=\int t\cos t\;dt}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=808684b51b158a4f94b4f70b2439c936&mode=mathml)
durch partielle Integration erhalten wir:
![{\displaystyle \int t\cos t\;dt=t\sin t-\int \sin t\;dt=t\sin t+\cos t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2158faaa603d737ab078ac2bed5a676d&mode=mathml)
Wenn wir jetzt resubstituieren kommen wir auf:
![{\displaystyle \int \arcsin x\;dx=\arcsin x\cdot x+\cos(\arcsin x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7ff4b9c7de94002220ad99156e5dab7f&mode=mathml)
Der Ausdruck:
ist unschön - wir können ihn durch:
![{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\Leftrightarrow \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=78d0cf51c483f5dd219e541f96b771ee&mode=mathml)
ersetzen.
Und den Term in die Lösung einsetzen:
![{\displaystyle \int \arcsin x\;dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+c}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=92127de9a5303e11a6a9b8341d642f93&mode=mathml)
Die zweite Nebenrechnung zeigt:
![{\displaystyle \int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fdbb74c4d0bf0dcede69d3afbd69ac61&mode=mathml)
Wir substituieren:
![{\displaystyle x=\sin t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4c317ad17d81969408f21c03ed1ec570&mode=mathml)
![{\displaystyle \;dx=\cos t\;dt}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=12eea209732c3293d3425fafa533edee&mode=mathml)
und erhalten so:
![{\displaystyle \int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int {\sqrt {1-\sin ^{2}t}}\cdot \cos t\;dt}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3eab2112b1e789b3d6b467e6e5ab0803&mode=mathml)
Da aus:
![{\displaystyle \sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1\Leftrightarrow {\sqrt {1-\sin ^{2}t}}=\cos t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a178f3a6fd2c4b8c2a2abcb16a4bef1f&mode=mathml)
folgt, könnnen wir unformen auf:
![{\displaystyle \int {\sqrt {1-\sin ^{2}t}}\cdot \cos t\;dt=\int \cos t\cdot \cos t\;dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2a6bd15d9092511d3c270bf025bfa869&mode=mathml)
Durch Anwendung der partiellen Integration erhalten wir:
![{\displaystyle \int \cos t\cdot \cos t\;dx=\cos t\cdot \sin t-\int -\sin t\cdot \sin t\;dx=\cos t\cdot \sin t+\int \sin ^{2}t;dx=\cos t\cdot \sin t+\int 1-\cos ^{2}t\;dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e6d4a9967d792bf62114083f661a7c9d&mode=mathml)
und daher:
![{\displaystyle \int \cos t\cdot \cos t\;dx=\cos t\cdot \sin t+\int 1\;dx-\int \cos ^{2}t\;dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b62265ef91d1cd11ff7f078fdf9d5554&mode=mathml)
![{\displaystyle 2\cdot \int \cos ^{2}t\;dx=\cos t\cdot \sin t+t}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a3ade6c84f1b67fb3b6f4986fee210fe&mode=mathml)
![{\displaystyle \int \cos ^{2}t\;dx={\frac {1}{2}}(\cos t\cdot \sin t+t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0ab21225d394cc116d48d852265d1cdf&mode=mathml)
Wir resubstituieren:
![{\displaystyle \int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(\cos(\arcsin x)\cdot x+\arcsin x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fb2b41ef75a6002ddd61b09d4b0d4ff6&mode=mathml)
Wie in #Nebenrechnung 1 können wir:
ersetzen.
und kommen so auf:
![{\displaystyle \int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x)+c}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=27de82e716cb5f262f40f8ac20610882&mode=mathml)