TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 42

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 226. Vergleich

Man berechne:

$\int x\cdot (\ln {x})^{2}\cdot dx$

Hilfreiches

Partielle_Integration

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$ alias $\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

Lösung

Einfach ein par mal die Partielle Integration.

$\int x\cdot (\ln {x})^{2}\cdot dx$

$={\frac {1}{2}}x^{2}\cdot (\ln {x})^{2}-\int {\frac {1}{2}}\cdot x^{2}\cdot 2{\frac {\ln {x}}{x}}$

$={\frac {1}{2}}x^{2}\cdot (\ln {x})^{2}-\int x\ln {x}$

$={\frac {1}{2}}x^{2}\cdot (\ln {x})^{2}-{\frac {1}{2}}x^{2}\cdot \ln {x}-\int {\frac {1}{2}}\cdot x$

$={\frac {1}{2}}x^{2}\cdot (\ln {x})^{2}-{\frac {1}{2}}x^{2}\cdot \ln {x}-{\frac {1}{4}}\cdot x^{2}$