TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 42

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 226. Vergleich

Man berechne:

$\int x\cdot (\ln x{)}^2\cdot dx$

Hilfreiches

Partielle_Integration

Partielle Integration

$\int udv=uv-\int vdu$ alias $\int u(x)v^{\prime }(x)=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)$

Lösung

Einfach ein par mal die Partielle Integration.

$\int x\cdot (\ln x{)}^2\cdot dx$

$=\frac{1}{2}{x}^2\cdot (\ln x{)}^2-\int \frac{1}{2}\cdot x^2\cdot 2\frac{\ln x}{x}$

$=\frac{1}{2}{x}^2\cdot (\ln x{)}^2-\int x\ln x$

$=\frac{1}{2}{x}^2\cdot (\ln x{)}^2-\frac{1}{2}{x}^2\cdot \ln x-\int \frac{1}{2}\cdot x$

$=\frac{1}{2}{x}^2\cdot (\ln x{)}^2-\frac{1}{2}{x}^2\cdot \ln x-\frac{1}{4}\cdot x^2$