TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 263

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Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (ohne und mit Computer).

\int_{0}^1 \frac{sin(u^2)}{u} du

Hinweis: Entwickeln sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviel Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?

SS 08 Beispiel 57[Bearbeiten]

Lösungsvorschlag von Oliver[Bearbeiten]

Entwickeln der Taylorreihe von sin(x) als Grundlage:

f(x) = sin(x)
f(0)=0
f'(x) = cos(x)
f'(0)=1
f''(x) = -sin(x)
f''(0)=0
f'''(x) = -cos(x)
f'''(0)=-1
f''''(x) = sin(x) ab hier wiederholt sich das Ganze wieder
f''''(0)=0

ergibt von der Stelle 0 weg:

sin(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} (x-0)+ \frac{f''(0)}{2!} (x-0)^2+ \frac{f'''(0)}{3!} (x-0)^3+...=

sin(x) = 0 + \frac{x}{1!}- \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} -+...= \sum^\infty_{n=0} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}


Einsetzen der ursprünglichen Angabe in die Taylorreihenentwicklung vom sinus ergibt:

\frac{sin(u^2)}{u} = \frac{u}{1!}- \frac{u^5}{3!}+ \frac{u^9}{5!} - \frac{u^{13}}{7!}+...

jetzt kann man die einzelnen Terme getrennt integrieren:

1. Term: \int_{0}^1{\frac{u}{1!}du}=\frac{1}{2}=0.5

2. Term: \int_{0}^1{-\frac{u^5}{3!}du}=-\frac{1}{36}=-0.0277777

3. Term: \int_{0}^1{\frac{u^9}{5!}du}=\frac{1}{1200}=0.000833

4. Term: \int_{0}^1{-\frac{u^{13}}{7!}du}=-\frac{1}{70560}=-0.000014 (vernachlässigbar)


\int_{0}^1{(\frac{u}{1!}- \frac{u^5}{3!})du=0.472222} \approx 0.472 Diese Näherung ist auf 3 Dezimalstellen noch nicht ausreichend genau.

Näherung für 3 Dezimalstellen Genauigkeit reicht in dem Fall mit 3 Taylor-Polynome:

\int_{0}^1{(\frac{u}{1!}- \frac{u^5}{3!}+ \frac{u^9}{5!})du=0.473056} \approx 0.473

Vergleich mit genauerer Näherung:

\int_{0}^1{(\frac{u}{1!}- \frac{u^5}{3!}+ \frac{u^9}{5!} -\frac{u^{13}}{7!}) du=0.473041} \approx 0.473


Lösung mittels TI Voyage 200:

\int_{0}^1 \frac{sin(u^2)}{u} du = 0.473042

-> obige Lösung ist daher mit 3 Termen ausreichend.

Lösung SS08[Bearbeiten]

lt Prof Urbanek

Die Taylorreihe für sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}...

x wird dann durch u² ersetzt und die Reihe sieht dann wie folgt aus:

\frac{sin(u^2)}{u}= \frac{u^2-\frac{u^6}{3!}+ \frac{u^{10}}{5!}-\frac{u^{14}}{7!}+\frac{u^{18}}{9!} ...}{u} = u-\frac{u^5}{3!}+ \frac{u^9}{5!}-\frac{u^{13}}{7!}+\frac{u^{17}}{9!} ...

Die einzelnen Terme sind dann nacheinander wie folgt zu integrieren:

\frac{u^2}{2}-\frac{u^6}{6*3!}+ \frac{u^{10}}{10*5!}-\frac{u^{14}}{14*7!}+\frac{u^{18}}{18*9!} ...

ausgewertet bei 0 sind alle Terme 0, bei 1 ausgewertet sind sie

\frac{1}{2}-\frac{1}{6*3!}+ \frac{1}{10*5!}-\frac{1}{14*7!}+\frac{1}{18*9!} ...

Die ersten 3 Terme ergeben 0,473, nun müßte noch der Fehler abgeschätzt werden.

Der Wert konvergiert zwischen \frac{1}{2} und \frac{1}{2}-\frac{1}{6*3!}

bzw. der Fehler zwischen \frac{1}{14*7!} und \frac{1}{14*7!}-\frac{1}{18*9!} 
ist kleiner als 0,00014, somit paßt 0,473 und 3 Terme reichen.

Hapi

Links[Bearbeiten]

Sinus,Kosinus, Taylorreihe

Taylorreihe, trigonometrische Funktionen

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