Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (ohne und mit Computer).
Hinweis: Entwickeln sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviel Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Entwickeln der Taylorreihe von als Grundlage:
ab hier wiederholt sich das Ganze wieder
ergibt von der Stelle 0 weg:
Einsetzen der ursprünglichen Angabe in die Taylorreihenentwicklung vom sinus ergibt:
jetzt kann man die einzelnen Terme getrennt integrieren:
1. Term:
2. Term:
3. Term:
4. Term: (vernachlässigbar)
Diese Näherung ist auf 3 Dezimalstellen noch nicht ausreichend genau.
Näherung für 3 Dezimalstellen Genauigkeit reicht in dem Fall mit 3 Taylor-Polynome:
Vergleich mit genauerer Näherung:
Lösung mittels TI Voyage 200:
-> obige Lösung ist daher mit 3 Termen ausreichend.
lt Prof Urbanek
Die Taylorreihe für
x wird dann durch u² ersetzt und die Reihe sieht dann wie folgt aus:
Die einzelnen Terme sind dann nacheinander wie folgt zu integrieren:
ausgewertet bei 0 sind alle Terme 0, bei 1 ausgewertet sind sie
Die ersten 3 Terme ergeben 0,473, nun müßte noch der Fehler abgeschätzt werden.
Der Wert konvergiert zwischen und
bzw. der Fehler zwischen und ist kleiner als 0,00014, somit paßt 0,473 und 3 Terme reichen.
Hapi
Sinus,Kosinus, Taylorreihe
Taylorreihe, trigonometrische Funktionen
Informatik-Forum Informatik-Forum Beispiel 57 SS08