TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 1

Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale:

(a) $\int {\frac {12x^{7}+5x-{\sqrt {x^{3}}}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x$

(b) $\int x^{2}\sin x\,\mathrm {d} x$

Hilfreiches

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$ alias $\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

${\begin{aligned}\int {\frac {12x^{7}+5x-{\sqrt {x^{3}}}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x&=\int {\frac {12x^{7}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x+\int {\frac {5x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x-\int {\frac {\sqrt {x^{3}}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&=\int 12x^{5}\,\mathrm {d} x+\int {\frac {5}{x}}\,\mathrm {d} x-\int x^{{\frac {3}{2}}-2}\,\mathrm {d} x\\&=12\int x^{5}\,\mathrm {d} x+5\int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x-\int x^{-{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {d} x\\&=12{\frac {x^{6}}{6}}+5\ln x-{\frac {x^{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}+C\\&=2x^{6}+5\ln x-2{\sqrt {x}}+C\end{aligned}}$

Beispiel (b)

${\begin{aligned}\int x^{2}\sin x\,\mathrm {d} x&=x^{2}\cdot (-\cos x)-\int 2x\cdot (-\cos x)\,\mathrm {d} x+C\\&=2\int x\cos x\,\mathrm {d} x-x^{2}\cos x+C\\&=2\left(x\sin x-\int 1\sin x\,\mathrm {d} x\right)-x^{2}\cos x+C\\&=2\left(x\sin x-(-\cos x)\right)-x^{2}\cos x+C\\&=2x\sin x+2\cos x-x^{2}\cos x+C\\&=2x\sin x+(2-x^{2})\cos x+C\end{aligned}}$

Ausführliche Erklärung

Beispiel (a)

sollte von oben klar sein. integral verhält sich linear, dh wir können den term einzeln integrieren. so lange vereinfachen (konstante faktoren herausheben, umformen) bis grundintegrale da stehen. die dann einfach aus der formelsammlung ablesen, zusammensetzen, done :-)

Beispiel (b)

Der Term bietet sich idealerweise für eine partielle Integration an.

$\int \underbrace {x^{2}} _{f}\cdot \underbrace {\sin x} _{g'}\,\mathrm {d} x=$

Nebenrechnung für die partielle Integration:

${\begin{aligned}f&=x^{2}&g'&=\sin x\\f'&=2x&g&=\int \sin x=-\cos x\end{aligned}}$

nun in die Formel für die part. Int. einsetzen:

$=x^{2}\cdot -\cos x-\int {\Bigl (}2x\cdot -\cos x{\Bigr )}\,\mathrm {d} x+C=$

konstanter Faktor 2 lässt sich herausheben (vorsicht später auf die Klammernsetzung!), und das neuen Integral wieder partiell integrieren.

$=x^{2}\cdot -\cos x-2\int {\Bigl (}\underbrace {x} _{f}\cdot \underbrace {-\cos x} _{g'}{\Bigr )}\,\mathrm {d} x+C=$

Nebenrechnung für die iterierte partielle Integration:

${\begin{aligned}f&=x&g'&=-\cos x\\f'&=1&g&=\int -\cos x=-\sin x\end{aligned}}$

wieder in die Formel einsetzen und an den bestehenden Term hängen.

$=x^{2}\cdot -\cos x-2{\Bigl (}x\cdot -\sin x-\int {\bigl (}1\cdot -\sin x{\bigr )}\,\mathrm {d} x{\Bigr )}+C=$

Faktor 1 im Integral fällt weg, übrig bleibt der negative sin(x), welcher zu cos(x) integriert

$=x^{2}\cdot -\cos x-2{\Bigl (}x\cdot -\sin x-\cos x{\Bigr )}+C=$

ausmultiplizieren und zusammenfassen, done

$=\cos x\cdot (2-x^{2})+2x\sin x+C$

--thomas 00:48, 14. Okt. 2010 (CEST)