TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 220

Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man die nachstehende Integrationsregel

$\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}\mathrm{d}x=\ln \mid u(x)\mid +C$

und berechne damit $\int \frac{dx}{x\ln x}$.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösung von alexxx

Substitution:

$u(x)=t$

$dx=\frac{dt}{u^{\prime }(x)}$

Einsetzen:

$\int \frac{u^{\prime }(x)}{t\ast u^{\prime }(x)}dt=\int \frac{dt}{t}=\ln |t|=\ln |u(x)|+C$

QED

$\int \frac{dx}{x\ln |x|}=$

Substitution:

$\ln |x|=t$

$dx=xdt$

$\int \frac{xdt}{xt}=\int \frac{dt}{t}=\ln |t|=\ln |\ln |x||+C$

Lösungsvorschlag

$f(x)=\frac{1}{x}$

$F(x)=\ln \left|x\right|$

$\begin{array}{cc}\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}\mathrm{d}x& =\int f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)\mathrm{d}x\\ & =F(u(x))+C\\ & =\ln |u(x)|+C\end{array}$

$u(x)=\ln x$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{xlnx}& =\int \frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}\mathrm{d}x\\ & =\ln |u(x)|+C\\ & =\ln |\ln x|+C\end{array}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum

Quelle

SS 08 Beispiel 26

Karigl Beispielsammlung SS06 Beispiel 52