TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 38

Gesucht ist die partikuläre Lösung der linearen Differenzengleichung

$x_{n+1}=(n+1)x_{n}+7(n+1)!$, $n=0,1,2,\dots$

zum Anfangswert $x_{0}=7$.

Lösungsvorschlag

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet $x_{n}^{(h)}=Cn!$. Durch Variation der Konstanten erhält man den Ansatz $x_{n}^{(p)}=C_{n}n!$, und Einsetzen in die inhomogene Gleichung führt zu

${\begin{aligned}C_{n+1}(n+1)!&=C_{n}n!(n+1)+7(n+1)!\\C_{n+1}&=C_{n}+7\\\Rightarrow C_{n}&=7n\end{aligned}}$

wobei $C_{0}=0$ gewählt wurde. Damit folgt

$x_{n}=x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(p)}=Cn!+7n\cdot n!=(C+7n)n!$ mit $C\in \mathbb {R}$.

Ergänzung von -- Christian.abila (Diskussion) 11:27, 13. Dez. 2012 (CET)

Durch Einsetzen des Anfangswertes $x_{0}=7$ erhält man die Lösung $x_{n}=7n!(1+n)=7(n+1)!$