TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 38

Gesucht ist die partikuläre Lösung der linearen Differenzengleichung

$x_{n+1}=(n+1)x_n+7(n+1)!$, $n=0,1,2,\dots$

zum Anfangswert $x_0=7$.

Lösungsvorschlag

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet $x_n^{(h)}=Cn!$. Durch Variation der Konstanten erhält man den Ansatz $x_n^{(p)}=C_{n}n!$, und Einsetzen in die inhomogene Gleichung führt zu

$\begin{array}{cc}{C}_{n+1}(n+1)!& =C_{n}n!(n+1)+7(n+1)!\\ C_{n+1}& =C_n+7\\ \Rightarrow C_n& =7n\end{array}$

wobei $C_0=0$ gewählt wurde. Damit folgt

$x_n=x_n^{(h)}+x_n^{(p)}=Cn!+7n\cdot n!=(C+7n)n!$ mit $C\in ℝ$.

Ergänzung von -- Christian.abila (Diskussion) 11:27, 13. Dez. 2012 (CET)

Durch Einsetzen des Anfangswertes $x_0=7$ erhält man die Lösung $x_n=7n!(1+n)=7(n+1)!$