TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 38

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Gesucht ist die partikuläre Lösung der linearen Differenzengleichung

x_{n+1} = (n+1)x_n +7(n+1)!, n=0,1,2,\dots

zum Anfangswert x_0 = 7.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet x_n^{(h)} = Cn!. Durch Variation der Konstanten erhält man den Ansatz x_n^{(p)}=C_nn!, und Einsetzen in die inhomogene Gleichung führt zu

\begin{align}
C_{n+1}(n+1)! &= C_nn!(n+1) + 7(n+1)! \\
C_{n+1} &= C_n + 7 \\
\Rightarrow C_n &= 7n
\end{align}

wobei C_0 = 0 gewählt wurde. Damit folgt

x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = Cn! + 7n \cdot n! = (C + 7n)n! mit C \in \mathbb R.

Ergänzung von -- Christian.abila (Diskussion) 11:27, 13. Dez. 2012 (CET)

Durch Einsetzen des Anfangswertes x_0 = 7 erhält man die Lösung x_n = 7n!(1+n) = 7(n+1)!