TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 41

Man bestimme die Lösung der Differenzengleichung $x_{n+1}=\sqrt{12+x_n}$ (für $n\ge 0$) zum Anfangswert $x_0=0$ auf graphischem Weg, berechne die Gleichgewichtspunkte und überprüfe sie auf Stabilität.

Lösungsvorschlag

graphische Lösung

$\begin{array}{cc}\sqrt{12+x}& =x\\ 12+x& =x^2\\ x^2-x-12& =0\end{array}$

$x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+12}\Rightarrow x_1=4x_2=-3$

$x_1=x^{\ast }=4$ ist der Gleichgewichtspunkt.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{12+x}}$

$f^{\prime }(4)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{12+4}}=\frac{1}{8}<1$

$x^{\ast }$ ist asymtotisch stabil.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 209 (ähnliches Beispiel)