TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 41

Man bestimme die Lösung der Differenzengleichung $x_{n+1}={\sqrt {12+x_{n}}}$ (für $n\geq 0$) zum Anfangswert $x_{0}=0$ auf graphischem Weg, berechne die Gleichgewichtspunkte und überprüfe sie auf Stabilität.

Lösungsvorschlag

graphische Lösung

${\begin{aligned}{\sqrt {12+x}}&=x\\12+x&=x^{2}\\x^{2}-x-12&=0\end{aligned}}$

$x_{1,2}={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}+12}}\Rightarrow x_{1}=4\,x_{2}=-3$

$x_{1}=x^{*}=4$ ist der Gleichgewichtspunkt.

$f'(x)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {12+x}}}$

$f'(4)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {12+4}}}={\frac {1}{8}}<1$

$x^{*}$ ist asymtotisch stabil.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 209 (ähnliches Beispiel)