TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 63

Die folgende Tabelle gibt die Entwicklung der Weltbevölkerung (in Milliarden) seit dem Jahr 1950 wieder:

Jahr t	1950	1960	1970	1980	1990	2000
Bevölkerung f(t)	2,54	3,03	3,70	4,45	5,29	6,12

Man finde eine Trendfunktion der Form $g(t)=c\cdot e^{at}$ und extrapoliere die Bevölkerungszahl für das Jahr 2010.

(Hinweis: Man bestimme die Ausgleichsgerade für die Wertepaare $(t,\ln g(t))$ nach der Methode der kleinsten Quadrate.)

Lösung

Theorie wie in Beispiel 57 aus 2004. Werte:

Jahr t	1950	1960	1970	1980	1990	2000
Bevölkerung f(t)	2,54	3,03	3,70	4,45	5,29	6,12
ln f(t)=y	0,9321641	1,1085626	1,3083328	1,4929041	1,6658182	1,8115621
Zwischenwerte:
$t_i^2$	3.802.500	3.841.600	3.880.900	3.920.400	3.960.100	4.000.000
$t_i\cdot y_i$	1.817,71996	2.172,78273	2.577,41565	2.955,95011	3.314,97831	3.623,12419

$\begin{array}{cc}\sum t_i^2& =\mathrm{23.405.500}\\ \sum (t_i\cdot y_i)& =\mathrm{16.461,970960}\\ n& =6\\ \bar{t}& =1975\\ {\bar{t}}^2& =\mathrm{3.900.625}\\ \bar{y}& =\mathrm{1,386557326}\\ n\cdot \bar{t}\cdot \bar{y}& =\mathrm{16.430,7043185796}\\ n\cdot {\bar{t}}^2& =\mathrm{23.403.750}\\ a& =\frac{\sum (t_i\cdot y_i)-n\cdot \bar{t}\cdot \bar{y}}{\sum t_i^2-n\cdot {\bar{t}}^2}=\mathrm{0,0178666521}\\ \ln c& =\bar{y}-a\cdot \bar{t}=-\mathrm{33,9000805600}\\ ln(e^x)& =x\iff c=e^{-\mathrm{33,9000805600}}\\ g(t)& =c\cdot e^{at}=e^{-\mathrm{33,9000805600}+\mathrm{0,0178666521}t}\\ g(2010)& =\mathrm{7,4774374752}\end{array}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Numerische Methoden der Analysis: Interpolation, Integration, Differentialgleichungen 1 (ähnliches Beispiel)