TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 63

Die folgende Tabelle gibt die Entwicklung der Weltbevölkerung (in Milliarden) seit dem Jahr 1950 wieder:

Jahr t	1950	1960	1970	1980	1990	2000
Bevölkerung f(t)	2,54	3,03	3,70	4,45	5,29	6,12

Man finde eine Trendfunktion der Form $g(t)=c\cdot e^{at}$ und extrapoliere die Bevölkerungszahl für das Jahr 2010.

(Hinweis: Man bestimme die Ausgleichsgerade für die Wertepaare $(t,\ln g(t))$ nach der Methode der kleinsten Quadrate.)

Lösung

Theorie wie in Beispiel 57 aus 2004. Werte:

Jahr t	1950	1960	1970	1980	1990	2000
Bevölkerung f(t)	2,54	3,03	3,70	4,45	5,29	6,12
ln f(t)=y	0,9321641	1,1085626	1,3083328	1,4929041	1,6658182	1,8115621
Zwischenwerte:
$t_{i}^{2}$	3.802.500	3.841.600	3.880.900	3.920.400	3.960.100	4.000.000
$t_{i}\cdot y_{i}$	1.817,71996	2.172,78273	2.577,41565	2.955,95011	3.314,97831	3.623,12419

${\begin{aligned}\sum t_{i}^{2}&=23.405.500\\\sum (t_{i}\cdot y_{i})&=16.461{,}970960\\n&=6\\{\overline {t}}&=1975\\{\overline {t}}^{2}&=3.900.625\\{\overline {y}}&=1{,}386557326\\n\cdot {\overline {t}}\cdot {\overline {y}}&=16.430{,}7043185796\\n\cdot {\overline {t}}^{2}&=23.403.750\\a&={\frac {\sum (t_{i}\cdot y_{i})-n\cdot {\overline {t}}\cdot {\overline {y}}}{\sum t_{i}^{2}-n\cdot {\overline {t}}^{2}}}=0{,}0178666521\\\ln c&={\overline {y}}-a\cdot {\overline {t}}=-33{,}9000805600\\ln(e^{x})&=x\Leftrightarrow c=e^{-33{,}9000805600}\\g(t)&=c\cdot e^{at}=e^{-33{,}9000805600+{0{,}0178666521t}}\\g(2010)&=7{,}4774374752\end{aligned}}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Numerische Methoden der Analysis: Interpolation, Integration, Differentialgleichungen 1 (ähnliches Beispiel)