TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 419

Der Gebrauchtwert einer Maschine betrage nach zwei Jahren noch 50%, nach vier Jahren noch 25% des Anschaffungspreises. Man gebe ein Polynom $p(t)$ zweiten Grades als Funktion der Nutzungsdauer $t$ an, das mit diesen empirischen Daten übereinstimmt und für $t=0$ den Wert 100 (Neuwert mit 100%) annimmt. Ferner vergleiche man die Erfahrungswerte von 70% Gebrauchtwert nach einem Jahr und 35% nach drei Jahren mit den entsprechenden p-Werten.

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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lagrange'sches Interpolationspolynom

Lagrange'sches Interpolationspolynom[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

p(x)=y_{0}L_{0}(x)+y_{1}L_{1}(x)+\ldots +y_{n}L_{n}(x)

wobei

L_{i}(x)=\prod _{j\not =i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}={\frac {(x-x_{0})\ldots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})\ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\ldots (x_{i}-x_{n})}}

nach 2 Jahren: $p(2)=50$

nach 4 Jahren: $p(4)=25$

Neuwert: $p(0)=100$

Punkte zwischen denen interpoliert wird: $(0,100),(2,50),(4,25)$

Berechnung der Lagrange'schen Polynome:
${\begin{aligned}L_{0}(x)&={\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}\\&={\frac {(x-2)(x-4)}{(0-2)(0-4)}}\\&={\frac {x^{2}-2x-4x+8}{(-2)(-4)}}\\&={\frac {x^{2}-6x+8}{8}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}L_{1}(x)&={\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}}\\&={\frac {(x-0)(x-4)}{(2-0)(2-4)}}\\&={\frac {x^{2}-4x}{(2)(-2)}}\\&={\frac {4x-x^{2}}{4}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}L_{2}(x)&={\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}\\&={\frac {(x-0)(x-2)}{(4-0)(4-2)}}\\&={\frac {x^{2}-2x}{(4)(2)}}\\&={\frac {x^{2}-2x}{8}}\end{aligned}}$

Einsetzen in das Lagrange'sche Interpolationspolynom:
${\begin{aligned}p(x)&=y_{0}L_{0}(x)+y_{1}L_{1}(x)+y_{2}L_{2}(x)\\&=100\cdot {\frac {x^{2}-6x+8}{8}}+50\cdot {\frac {4x-x^{2}}{4}}+25\cdot {\frac {x^{2}-2x}{8}}\\&={\frac {(100-100+25)\cdot x^{2}+(-600+400-50)\cdot x+800}{8}}\\&={\frac {25x^{2}-250x+800}{8}}\\&={\frac {25}{8}}x^{2}-{\frac {125}{4}}x+100\end{aligned}}$

Nach einem Jahr beträgt der Gebrauchtwert der Maschine laut unserer interpolierten Funktion $p(1)=71.7875$ . Das ist sehr nahe an dem Erfahrungswert von 70%.

Nach 3 Jahren beträgt der Gebrauchtwert der Maschine laut unserer interpolierten Funktion $p(3)=34.375$ . Das ist ebenfalls sehr nahe an dem Erfahrungswert von 35%.