TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 8

Wird der Wechselstroms $i(t)=i_{0}\sin(t)$ gleichgerichtet, so ergibt sich ein pulsierender Gleichstrom der Form

(a) $i_{1}(t)={\begin{cases}i_{0}\sin(t)&0\leq t\leq \pi \\0&\pi <t<2\pi \end{cases}}$ beim Einweggleichrichter bzw.

(b) $i_{2}(t)=\left|i_{0}\sin(t)\right|,0\leq t\leq 2\pi$ beim Doppelgleichrichter.

Man ermittle den Gleichrichtwert des Wechselstromgleichrichters, d. i. der Mittelwert der Stromstärke $i_{1}(t)$ bzw. $i_{2}(t)$ auf dem Intervall $[0,2\pi ]$ (Skizze).

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

${\begin{aligned}{\overline {i_{1}}}&={\frac {\int _{0}^{\pi }i_{0}\sin t\,\mathrm {d} t+\int _{\pi }^{2\pi }0\,\mathrm {d} t}{2\pi }}\\&={\frac {i_{0}}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin t\,\mathrm {d} t\\&={\frac {i_{0}}{2\pi }}\left.(-\cos t)\right|_{0}^{\pi }\\&={\frac {i_{0}}{2\pi }}\left(-\cos \pi -(-\cos 0)\right)\\&={\frac {i_{0}}{2\pi }}\left(1+1\right)\\&={\frac {i_{0}}{\pi }}\end{aligned}}$

Beispiel (b)

Von $0$ bis $\pi$ ist der Sinus sowieso positiv, durch $-\sin$ wird der Sinus im Bereich $\pi$ bis $2\pi$ positiv.

${\begin{aligned}{\overline {i_{2}}}&={\frac {\int _{0}^{\pi }i_{0}\sin t\,\mathrm {d} t+\int _{\pi }^{2\pi }-i_{0}\sin t\,\mathrm {d} t}{2\pi }}\\&={\frac {i_{0}}{2\pi }}\left(\int _{0}^{\pi }\sin t\,\mathrm {d} t-\int _{\pi }^{2\pi }\sin t\,\mathrm {d} t\right)\\&={\frac {i_{0}}{2\pi }}\left(\left.(-\cos t)\right|_{0}^{\pi }-\left.(-\cos t)\right|_{\pi }^{2\pi }\right)\\&={\frac {i_{0}}{2\pi }}\left(\left(-\cos \pi -(-\cos 0)\right)-\left(-\cos 2\pi -(-\cos \pi )\right)\right)\\&={\frac {i_{0}}{2\pi }}\left(\cos 2\pi -\cos \pi -\cos \pi +\cos 0\right)\\&={\frac {i_{0}}{2\pi }}\left(1+1+1+1\right)\\&={\frac {2i_{0}}{\pi }}\end{aligned}}$