TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 8

Wird der Wechselstroms $i(t)=i_0\sin (t)$ gleichgerichtet, so ergibt sich ein pulsierender Gleichstrom der Form

(a) $i_1(t)=\{\begin{array}{cc}{i}_0\sin (t)& 0\le t\le \pi \\ 0& \pi <t<2\pi \end{array}$ beim Einweggleichrichter bzw.

(b) $i_2(t)=|i_0\sin (t)|,0\le t\le 2\pi$ beim Doppelgleichrichter.

Man ermittle den Gleichrichtwert des Wechselstromgleichrichters, d. i. der Mittelwert der Stromstärke $i_1(t)$ bzw. $i_2(t)$ auf dem Intervall $[0,2\pi ]$ (Skizze).

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\begin{array}{cc}\overline{i_1}& =\frac{{\int }_0^{\pi }{i}_0\sin t\mathrm{d}t+{\int }_{\pi }^{2\pi }0\mathrm{d}t}{2\pi }\\ & =\frac{i_0}{2\pi }{\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t\\ & =\frac{i_0}{2\pi }{(-\cos t)|}_0^{\pi }\\ & =\frac{i_0}{2\pi }(-\cos \pi -(-\cos 0))\\ & =\frac{i_0}{2\pi }(1+1)\\ & =\frac{i_0}{\pi }\end{array}$

Beispiel (b)

Von $0$ bis $\pi$ ist der Sinus sowieso positiv, durch $-\sin$ wird der Sinus im Bereich $\pi$ bis $2\pi$ positiv.

$\begin{array}{cc}\overline{i_2}& =\frac{{\int }_0^{\pi }{i}_0\sin t\mathrm{d}t+{\int }_{\pi }^{2\pi }-i_0\sin t\mathrm{d}t}{2\pi }\\ & =\frac{i_0}{2\pi }({\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t-{\int }_{\pi }^{2\pi }\sin t\mathrm{d}t)\\ & =\frac{i_0}{2\pi }({(-\cos t)|}_0^{\pi }-{(-\cos t)|}_{\pi }^{2\pi })\\ & =\frac{i_0}{2\pi }((-\cos \pi -(-\cos 0))-(-\cos 2\pi -(-\cos \pi )))\\ & =\frac{i_0}{2\pi }(\cos 2\pi -\cos \pi -\cos \pi +\cos 0)\\ & =\frac{i_0}{2\pi }(1+1+1+1)\\ & =\frac{2i_0}{\pi }\end{array}$