TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/1. Übungstest WS10/Gruppe 2 2010-11-04

Erster Übungstest der Mathe2 UE Gruppe 2 (Johann Wiesenbauer) am 4.11.2010

Angabe

Beispiel 1

Berechne folgendes Integral:

$\int {\frac {4-x}{(x-1)^{2}(x+2)}}\,\mathrm {d} x$

Beispiel 2

Gegeben ist folgende Gleichung:

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot (c+x)\,\mathrm {d} x=2$

bestimme $c\,$

Lösung

Beispiel 1 (von cherrybonbon)

(siehe f.post:671128)

$\int {\frac {4-x}{(x-1)^{2}(x+2)}}\,\mathrm {d} x=\int {\Bigl (}{\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{x+2}}{\Bigr )}\,\mathrm {d} x$

vereinfachung:

4-x = A(x-1)(x+2)          + B(x+2)  + C(x-1)^2
    = Ax^2 + 2Ax - Ax - 2A + Bx + 2B + Cx^2 - 2Cx + C
    =  2A    + 2B  +  C
     +  Ax   +  Bx - 2Cx
     +  Ax^2       +  Cx^2

koeffizientenvergleich:

 4 = -2A + 2B +  C
-1 =   A +  B - 2C
 0 =   A +  0 +  C
 A = -C
-1 = -C +B -2C
 B = 3C - 1
 4 = 2 (3C - 1) + 2C + C
 4 = 6C - 2 + 3C -> C = 2/3 -> A = -2/3
 B = 3 * 2/3 -1 = 1

$\int {\frac {4-x}{(x-1)^{2}(x+2)}}\,\mathrm {d} x=\int {\Bigl (}-{\frac {2}{3(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {2}{3(x+2)}}{\Bigr )}\,\mathrm {d} x=-{\frac {2}{3}}ln|x-1|+{\frac {1}{1-x}}+{\frac {2}{3}}ln|x+2|+C$

Beispiel 2 (von Thomas)

Zuerst das Integral auf der linken Seite berechnen, dazu das unbestimmte Integral berechnen und dann Grenzen einsetzen.

dazu umformen

$\int e^{-x}\cdot (c+x)\,\mathrm {d} x=\int (e^{-x}\cdot c)\,\mathrm {d} x+\int (e^{-x}\cdot x)\,\mathrm {d} x$

auf der linken seite kann ich die konstante herausheben, $e^{-x}$ integriert zu $-e^{-x}$ und erhalte somit $c\cdot -e^{-x}$

die rechte seite muss man partiell integrieren, dazu setze ich $f=x\,,g'=e^{-x}$ das liefert $f'=1\,,g=-e^{-x}$ und somit

$x\cdot -e^{-x}-\int (1\cdot -e^{-x})=x\cdot -e^{-x}-e^{-x}$

zusammensetzen

$\int (e^{-x}\cdot c)+\int (e^{-x}\cdot x)=c\cdot -e^{-x}+x\cdot -e^{-x}-e^{-x}$

da kann ich $-e^{-x}$ herausheben und erhalte

$-e^{-x}\cdot (c+x+1)$ (plus integrationskonstante)

nun setz ich die grenzen ein, da die obere grenze $\infty$ ist brauch ich einen zwischenwert mit limes (hab b gewählt)

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot (c+x)\,=\,-e^{-x}\cdot (c+x+1)|_{0}^{\infty }$

$=\lim _{b\to \infty }(-e^{-b}\cdot (c+b+1))-(-e^{-0}\cdot (c+0+1))$

$=\lim _{b\to \infty }(-e^{-b}\cdot (c+b+1))-(-c-1)$

der linke teil geht wegen $\lim _{b\to \infty }-e^{-b}=0$ gegen null, somit steht am ende

$0-(-c-1)=c+1\,$

dh, die ursprüngliche gleichung lautet aufgelöst:

$c+1=2\Rightarrow c=1$

integral auf wolframalpha