TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/1. Übungstest WS10/Gruppe 5 2010-11-05

Erster Übungstest der Mathe 2 UE Gruppe 5 (Alois Panholzer) am 5.11.2010

Angabe

Beispiel 1

Berechne das Integral

$\int \frac{2+x^2}{x^3+2x^2+x}\mathrm{d}x$

Beispiel 2

a)

Berechne das uneigentliche Integral

${\int }_2^{\mathrm{\infty }}\frac{x^2}{e^x}\mathrm{d}x$

b)

Überprüfe mittels des Integralkriteriums ob die folgende Reihe Konvergiert

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2}{e^n}$

Lösung

Beispiel 1

Offensichtlich Partialbruchzerlegung, Nennerpolynom faktorisieren, (erste Nullstelle erraten (-1), Polynomdivision durchführen oder wie immer ihr das macht) heraus kommt jedenfalls

$\frac{2+x^2}{x^3+2x^2+x}=\frac{2+x^2}{x(x+1{)}^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(x+2{)}^2}$

Vereinfachung für Koeffizientenvergleich:

x²+2  =  A(x+1)²   + Bx(x+1) + Cx
      =  Ax²+2Ax+A + Bx²+Bx  + Cx

      =  Ax²+Bx² + 2Ax+Bx+Cx + A
      =  x²(A+B) + x(2A+B+C) + A

Koeffizientenvergleich und Lösung der Gleichungen:

x²1 + x¹0 + 2  =  x²(A+B) + x(2A+B+C) + A

1 =  A + B
0 = 2A + B + C
2 =  A           => A =  2

1 =  2 + B       => B = -1

0 =  4 +-1 + C
  =      3 + C   => C = -3

somit erhalten wir

$\frac{2}{x}-\frac{1}{(x+1)}-\frac{3}{(x+1{)}^2}$

was nun leicht zu integrieren ist:

$\begin{array}{cc}\int \frac{2+x^2}{x^3+2x^2+x}\mathrm{d}x& =\int \frac{2}{x}-\frac{1}{(x+1)}-\frac{3}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{2}{x}\mathrm{d}x-\int \frac{1}{(x+1)}\mathrm{d}x-\int \frac{3}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x\\ & =2\cdot \int \frac{dx}{x}-\int \frac{dx}{(x+1)}-3\cdot \int \frac{dx}{(x+1{)}^2}\\ & =2\cdot ln|x|-ln|x+1|+\frac{3}{x+1}\end{array}$

das integral auf wolframalpha

Beispiel 2

a)

Man muss sehen, dass der Term für die partielle Integration geeignet ist (indem man umformt)

${\int }_2^{\mathrm{\infty }}\frac{x^2}{e^x}\mathrm{d}x={\int }_2^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot \frac{1}{e^x}\mathrm{d}x={\int }_2^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot e^{-x}\mathrm{d}x$

naja, jetzt haben wir ein klassisches Beispiel für die part.Int. und berechnen zuerst das unbestimmte Integral (2 part.int. iterationen)

$\begin{array}{cc}\int x^2\cdot e^{-x}\mathrm{d}x=& -e^{-x}\cdot x^2+2\cdot \int e^{-x}\cdot x\mathrm{d}x=\\ =& -e^{-x}\cdot x^2+2\cdot (-e^{-x}\cdot x+\int e^{-x}\mathrm{d}x)=\\ =& -e^{-x}\cdot x^2+2\cdot (-x\cdot e^{-x}-e^{-x})=\\ =& -e^{-x}\cdot (x^2+2x+2)\\ =& -\frac{x^2+2x+2}{e^x}+C\end{array}$

nun Grenzen einsetzen (mit Grenzwert für obere Grenze)

$\begin{array}{cc}{\int }_2^{\mathrm{\infty }}\frac{x^2}{e^x}\mathrm{d}x& ={-\frac{x^2+2x+2}{e^x}|}_2^{\mathrm{\infty }}\\ & =\underset{0}{\underbrace{-\underset{c\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{c^2+2c+2}{e^c}}}+\underset{\frac{10}{e^2}}{\underbrace{\frac{2^2+2\cdot 2+2}{e^2}}}\\ & =\frac{10}{e^2}\approx 1.35335\end{array}$

Streng formal müsste man den linken Teil mit der Regel von de l'Hospital auflösen, man sieht aber, dass

$\frac{x^2+2x+2}{e^x}=e^{-x}\cdot (x^2+2x+2)$

und $e^{-x}$ gegen 0 strebt.

somit wird was im Zähler steht mit 0 Multipliziert und fällt weg.

b)

Allgemein zum Integralkriterium (aus dem Mathe Buch)

Sei $f:[p,\mathrm{\infty })\to ℝ$ eine nichtnegative und monoton fallende Funktion.

Dann ist das uneigentliche Integral ${\int }_p^{\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ genau dann konvergent, wenn die Reihe $\sum _{n=p}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ konvergiert.

Wir sehen ja, dass wir das Integral zur gegebenen Funktion in der Summe bereits berechnet haben.

Wir müssen also nur noch feststellen, ob die Funktion f(x) > 0 und monoton fallend ist, dann haben wir gezeigt, dass die Reihe konvergiert (denn das uneigentliche Integral kovergiert).