TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/1. Übungstest WS10/Gruppe 5 2010-11-05

Erster Übungstest der Mathe 2 UE Gruppe 5 (Alois Panholzer) am 5.11.2010

Angabe

Beispiel 1

Berechne das Integral

$\int {\frac {2+x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}}\,\mathrm {d} x$

Beispiel 2

a)

Berechne das uneigentliche Integral

$\int _{2}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}}}\,\mathrm {d} x$

b)

Überprüfe mittels des Integralkriteriums ob die folgende Reihe Konvergiert

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n^{2}}{e^{n}}}$

Lösung

Beispiel 1

Offensichtlich Partialbruchzerlegung, Nennerpolynom faktorisieren, (erste Nullstelle erraten (-1), Polynomdivision durchführen oder wie immer ihr das macht) heraus kommt jedenfalls

${\frac {2+x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}}={\frac {2+x^{2}}{x(x+1)^{2}}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{(x+1)}}+{\frac {C}{(x+2)^{2}}}$

Vereinfachung für Koeffizientenvergleich:

x²+2  =  A(x+1)²   + Bx(x+1) + Cx
      =  Ax²+2Ax+A + Bx²+Bx  + Cx

      =  Ax²+Bx² + 2Ax+Bx+Cx + A
      =  x²(A+B) + x(2A+B+C) + A

Koeffizientenvergleich und Lösung der Gleichungen:

x²1 + x¹0 + 2  =  x²(A+B) + x(2A+B+C) + A

1 =  A + B
0 = 2A + B + C
2 =  A           => A =  2

1 =  2 + B       => B = -1

0 =  4 +-1 + C
  =      3 + C   => C = -3

somit erhalten wir

${\frac {2}{x}}-{\frac {1}{(x+1)}}-{\frac {3}{(x+1)^{2}}}$

was nun leicht zu integrieren ist:

${\begin{aligned}\int {\frac {2+x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}}\,\mathrm {d} x&=\int {\frac {2}{x}}-{\frac {1}{(x+1)}}-{\frac {3}{(x+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {2}{x}}\,\mathrm {d} x-\int {\frac {1}{(x+1)}}\,\mathrm {d} x-\int {\frac {3}{(x+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&=2\cdot \int {\frac {dx}{x}}-\int {\frac {dx}{(x+1)}}-3\cdot \int {\frac {dx}{(x+1)^{2}}}\\&=2\cdot ln|x|-ln|x+1|+{\frac {3}{x+1}}\end{aligned}}$

das integral auf wolframalpha

Beispiel 2

a)

Man muss sehen, dass der Term für die partielle Integration geeignet ist (indem man umformt)

$\int _{2}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}}}\,\mathrm {d} x=\int _{2}^{\infty }x^{2}\cdot {\frac {1}{e^{x}}}\,\mathrm {d} x=\int _{2}^{\infty }x^{2}\cdot e^{-x}\,\mathrm {d} x$

naja, jetzt haben wir ein klassisches Beispiel für die part.Int. und berechnen zuerst das unbestimmte Integral (2 part.int. iterationen)

${\begin{aligned}\int x^{2}\cdot e^{-x}\,\mathrm {d} x=&-e^{-x}\cdot x^{2}+2\cdot \int e^{-x}\cdot x\,\mathrm {d} x=\\=&-e^{-x}\cdot x^{2}+2\cdot {\Bigl (}-e^{-x}\cdot x+\int e^{-x}\,\mathrm {d} x{\Bigr )}=\\=&-e^{-x}\cdot x^{2}+2\cdot {\Bigl (}-x\cdot e^{-x}-e^{-x}{\Bigr )}=\\=&-e^{-x}\cdot (x^{2}+2x+2)\\=&-{\frac {x^{2}+2x+2}{e^{x}}}\,\,+C\end{aligned}}$

nun Grenzen einsetzen (mit Grenzwert für obere Grenze)

${\begin{aligned}\int _{2}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}}}\,\mathrm {d} x&=\left.-{\frac {x^{2}+2x+2}{e^{x}}}\right|_{2}^{\infty }\\&=\underbrace {-\lim _{c\to \infty }{\frac {c^{2}+2c+2}{e^{c}}}} _{0}+\underbrace {\frac {2^{2}+2\cdot 2+2}{e^{2}}} _{\frac {10}{e^{2}}}\\&={\frac {10}{e^{2}}}\approx 1.35335\end{aligned}}$

Streng formal müsste man den linken Teil mit der Regel von de l'Hospital auflösen, man sieht aber, dass

${\frac {x^{2}+2x+2}{e^{x}}}=e^{-x}\cdot (x^{2}+2x+2)$

und $e^{-x}$ gegen 0 strebt.

somit wird was im Zähler steht mit 0 Multipliziert und fällt weg.

b)

Allgemein zum Integralkriterium (aus dem Mathe Buch)

Sei $f\colon [p,\infty )\to \mathbb {R}$ eine nichtnegative und monoton fallende Funktion.

Dann ist das uneigentliche Integral $\int _{p}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$ genau dann konvergent, wenn die Reihe $\sum _{n=p}^{\infty }f(n)$ konvergiert.

Wir sehen ja, dass wir das Integral zur gegebenen Funktion in der Summe bereits berechnet haben.

Wir müssen also nur noch feststellen, ob die Funktion f(x) > 0 und monoton fallend ist, dann haben wir gezeigt, dass die Reihe konvergiert (denn das uneigentliche Integral kovergiert).