TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/2. Übungstest WS10/Gruppe 1 2010-12-02

Angabe

Beispiel 1

Man bestimme alle relativen Extrema der Funktion

$f(x,y)=10-3x^4-y^4-4x^2+2y^2$.

Beispiel 2

Man überprüfe, ob das Vekorfeld

$\overrightarrow{f}=\left(\begin{array}{c}2\cos y\\ 3\cos y-2x\sin y-2y{e}^{-y^2}\end{array}\right)$

ein Gradientenfeld ist, und bestimme gegebenenfalls eine Stammfunktion $F(x,y)$.

Lösung

Beispiel 1 - Vorschlag von thomas

Für Extremwertaufgaben brauchen wir, sofern Extrema existieren, in weiterer Folge alle Ableitungen erster und zweiter Ordnung. Berechnen wir mal die...

$\begin{array}{cc}{f}_x& =-12x^3-8x\\ f_y& =-4y^3+4y\\ f_{xx}& =-36x^2-8\\ f_{yy}& =-12y^2+4\\ f_{xy}& =f_{yx}=0\end{array}$

zuerst die überprüfen notwendige Bedingung $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f=\overrightarrow{0}$

setzen den gradienten von f also 0, so entsteht ein gleiungssystem das in unserem fall keine abhängigkeit zwischen x und y hat.

$\begin{array}{ccccc}{f}_x& =-12x^3-8x& =& -3x^3-2x& =0\\ f_y& =-4y^3+4y& =& -y^3+y& =0\end{array}$

Einen Punkt kann man gleich ablesen, nämlich $P_1=(0,0)$

die anderen berechnen wir schrittweise

$x$ ist im reellen nicht weiter lösbar. es kommt für x also lediglich der bereits gefundene punkt 0 in frage.

$-y^3+y=0\Rightarrow -y^2=1\Rightarrow -y=\sqrt{1}\Rightarrow y=\pm 1$

also haben wir als P2 und P3 folgende punkte

$P_2=(0,1)$

$P_3=(0,-1)$

siehe: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y^3=y , http://www.wolframalpha.com/input/?i=-3x^3-2x=0

wir haben also 3 mögliche lösungen, dessen aussage wir nun mittels der hinreichenden bedingung überprüfen werden.

wir prüfen die definitheit der determinante der hessematrix

$H_f=\left(\begin{array}{cc}-36x^2-8& 0\\ 0& -12y^2+4\end{array}\right)$

$D_{H_f}=|H_f|=(-36x^2-8)(-12y^2+4)-0$

in die setzen wir unsere 3 gefundenen punkte ein und erhalten jeweils

$\begin{array}{cccc}{D}_{H_f}(P_1)& =(0-8)(0+4)& =& -32<0\\ D_{H_f}(P_2)& =(0-8)(-12+4)& =& 64>0\\ D_{H_f}(P_3)& =(0-8)(-12+4)& =& 64>0\end{array}$

P1 ist also ein sattelpunkt, P2 und P3 sind rel. extremwerte (min. oder max.)

zweiteres überprüfen wir nun noch in dem wir in $f_{xx}$ einsetzen.

(ausführung spar ich mir jetzt, ist leicht zu sehen dass das beides -8 ist, kleiner 0, also liegt jeweils ein rel. maximum vor, siehe buch S245, beispiel 6.35)

ein blick auf die funktion sagt mir, dass das ganz gut aussieht ;) http://www.wolframalpha.com/input/?i=10-3x^4-y^4-4x^2%2B2y^2

Beispiel 2 - Vorschlag von thomas

Um zu sehen ob eine Stammfunktion existiert, überprüft man zuerst die Integraibilitätskriterien, in diesem Fall ist es nur eines

$\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x}$

$\frac{\partial f_1}{\partial y}=-2\sin y$

$\frac{\partial f_2}{\partial x}=0-2\sin y-0=-2\sin y$

Nun berechnen wir $F$:

$F=\int 2\cos y\mathrm{d}x=2\cos (y)x+C(y)$

wir brauchen noch $C(y)$, wir wissen $F_y=f_2$ also differenzieren wir mal den Teil von F den wir haben nach y

$(2\cos (y)x+C(y))\frac{\partial }{\partial y}=\underset{F_y}{\underbrace{-2x\sin y+C^{\prime }(y)}}=\underset{f_2}{\underbrace{3\cos y-2x\sin y-2y{e}^{-y^2}}}$

$\Rightarrow C^{\prime }(y)=3\cos y-2y{e}^{-y^2}$

das integrieren wir nun nach y ($-y^2$ substitutieren)

$C(y)=\int C^{\prime }(y)dy=3\sin y+e^{-y^2}+D$

setzen zusammen und erhalten

$F=2\cos (y)x+3\sin y+e^{-y^2}+D$

um zu sehen, dass das gilt, kann man F nochmal nach x und nach y differenzieren, und erhält f1 und f2.