TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/2. Übungstest WS10/Gruppe 1 2010-12-02

Angabe

Beispiel 1

Man bestimme alle relativen Extrema der Funktion

$f(x,y)=10-3x^{4}-y^{4}-4x^{2}+2y^{2}\,$.

Beispiel 2

Man überprüfe, ob das Vekorfeld

${\vec {f}}={\begin{pmatrix}2\cos y\\3\cos y-2x\sin y-2ye^{-y^{2}}\end{pmatrix}}$

ein Gradientenfeld ist, und bestimme gegebenenfalls eine Stammfunktion $F(x,y)$.

Lösung

Beispiel 1 - Vorschlag von thomas

Für Extremwertaufgaben brauchen wir, sofern Extrema existieren, in weiterer Folge alle Ableitungen erster und zweiter Ordnung. Berechnen wir mal die...

${\begin{aligned}f_{x}&=-12x^{3}-8x\\f_{y}&=-4y^{3}+4y\\f_{xx}&=-36x^{2}-8\\f_{yy}&=-12y^{2}+4\\f_{xy}&=f_{yx}=0\end{aligned}}$

zuerst die überprüfen notwendige Bedingung $\mathrm {grad} f={\vec {0}}$

setzen den gradienten von f also 0, so entsteht ein gleiungssystem das in unserem fall keine abhängigkeit zwischen x und y hat.

${\begin{aligned}f_{x}&=-12x^{3}-8x&=&-3x^{3}-2x&=0\\f_{y}&=-4y^{3}+4y&=&-y^{3}+y&=0\end{aligned}}$

Einen Punkt kann man gleich ablesen, nämlich $P_{1}=(0,0)$

die anderen berechnen wir schrittweise

$x\,$ ist im reellen nicht weiter lösbar. es kommt für x also lediglich der bereits gefundene punkt 0 in frage.

$-y^{3}+y=0\Rightarrow -y^{2}=1\Rightarrow -y={\sqrt {1}}\Rightarrow y=\pm 1$

also haben wir als P2 und P3 folgende punkte

$P_{2}=(0,1)$

$P_{3}=(0,-1)$

siehe: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y^3=y , http://www.wolframalpha.com/input/?i=-3x^3-2x=0

wir haben also 3 mögliche lösungen, dessen aussage wir nun mittels der hinreichenden bedingung überprüfen werden.

wir prüfen die definitheit der determinante der hessematrix

$H_{f}={\begin{pmatrix}-36x^{2}-8&0\\0&-12y^{2}+4\end{pmatrix}}$

$D_{H_{f}}=|H_{f}|=(-36x^{2}-8)(-12y^{2}+4)-0\,$

in die setzen wir unsere 3 gefundenen punkte ein und erhalten jeweils

${\begin{aligned}D_{H_{f}}(P_{1})&=(0-8)(0+4)&=&-32<0\\D_{H_{f}}(P_{2})&=(0-8)(-12+4)&=&\,64>0\\D_{H_{f}}(P_{3})&=(0-8)(-12+4)&=&\,64>0\end{aligned}}$

P1 ist also ein sattelpunkt, P2 und P3 sind rel. extremwerte (min. oder max.)

zweiteres überprüfen wir nun noch in dem wir in $f_{xx}$ einsetzen.

(ausführung spar ich mir jetzt, ist leicht zu sehen dass das beides -8 ist, kleiner 0, also liegt jeweils ein rel. maximum vor, siehe buch S245, beispiel 6.35)

ein blick auf die funktion sagt mir, dass das ganz gut aussieht ;) http://www.wolframalpha.com/input/?i=10-3x^4-y^4-4x^2%2B2y^2

Beispiel 2 - Vorschlag von thomas

Um zu sehen ob eine Stammfunktion existiert, überprüft man zuerst die Integraibilitätskriterien, in diesem Fall ist es nur eines

${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}$

${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=-2\sin y$

${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=0-2\sin y-0=-2\sin y$

Nun berechnen wir $F\,$:

$F=\int 2\cos y\,\mathrm {d} x=2\cos(y)x+C(y)$

wir brauchen noch $C(y)\,$, wir wissen $F_{y}=f_{2}\,$ also differenzieren wir mal den Teil von F den wir haben nach y

$(2\cos(y)x+C(y)){\frac {\partial }{\partial y}}=\underbrace {-2x\sin y+C'(y)} _{F_{y}}=\underbrace {3\cos y-2x\sin y-2ye^{-y^{2}}} _{f_{2}}$

$\Rightarrow C'(y)=3\cos y-2ye^{-y^{2}}$

das integrieren wir nun nach y ($-y^{2}$ substitutieren)

$C(y)=\int C'(y)dy=3\sin y+e^{-y^{2}}+D$

setzen zusammen und erhalten

$F=2\cos(y)x+3\sin y+e^{-y^{2}}+D$

um zu sehen, dass das gilt, kann man F nochmal nach x und nach y differenzieren, und erhält f1 und f2.