TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/2. Übungstest WS10/Gruppe 5 2010-12-03

Angabe

Beispiel 1

Man bestimme alle relativen Extrema der Funktion

$f(x,y)=9(x-3)(y^{2}+10y)+3x^{3}\,$

Beispiel 2

Man überprüfe, ob das Vekorfeld

${\vec {f}}={\begin{pmatrix}z^{2}+2xy\\x^{2}+2yz\\y^{2}+2xz\end{pmatrix}}$

ein Gradientenfeld ist, und bestimme gegebenenfalls eine Stammfunktion $F(x,y)$.

Lösung

Beispiel 1

Zuerst die notwendige Bedingung prüfen $\mathrm {grad} \,f={\vec {0}}$

${\begin{aligned}f_{x}&=9(y^{2}+10)y+9x^{2}=0\\f_{y}&=9(x-3)(2y+10)=18(x-3)(y+5)=0\end{aligned}}$

daraus die Kandidaten finden, aus fy kann man gleich zwei Fälle ablesen ablesen (y=-5, x=3) und diese in fx einsetzen.

Fall 1, y=-5 in fx einsetzen

$9(25-50)+9x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=25\Rightarrow x_{1,2}=\pm 5$

$P_{1}(-5,-5)\,,\,P_{2}(5,-5)$

Fall 2, x=3 in fx einsetzen

$9(y^{2}+10)y+9x^{2}|:9\Rightarrow (y^{2}+10)y+x^{2}\Rightarrow y^{2}+10y+9=0$

$P_{3}(3,-9)\,,\,P_{4}(3,-1)$

Nun die Hessematrix bilden und die Kandidaten in die Determinante einsetzen um zu überprüfen ob sie Sattelpunkte oder Extrema sind. Dazu Ableitungen zweiter Ordnung bilden ${\begin{aligned}f_{xx}&=18x\\f_{yy}&=18(x-3)\\f_{xy}&=f_{yx}=18(y+5)\end{aligned}}$

$\mathrm {det} _{H}=18^{2}(x(x-3)-(y+5)^{2})$

${\begin{aligned}P_{1}&:\mathrm {det} _{H}>0\,,\,f_{xx}<0\Rightarrow \mathrm {rel.max} \\P_{2}&:\mathrm {det} _{H}>0\,,\,f_{xx}>0\Rightarrow \mathrm {rel.min} \\P_{3}&:\mathrm {det} _{H}<0\Rightarrow \mathrm {Sattelpunkt} \\P_{4}&:\mathrm {det} _{H}<0\Rightarrow \mathrm {Sattelpunkt} \end{aligned}}$

Beispiel 2

Integrabilitätsbedingungen prüfung, bei n=3 sind das 3

${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}&={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&=2x\\{\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}&={\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}&=2z\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}&={\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}&=2y\end{aligned}}$

Eine Stammfunktion existiert also, die wir jetzt systematisch finden werden

$F=\int f_{1}\mathrm {d} x=z^{2}x+x^{2}y+C(y,z)$

Zweite Bedingung einsetzen

$F_{y}=f_{2}=\underbrace {x^{2}+C'(y,z)} _{F_{y}}=\underbrace {x^{2}+2yz} _{f_{2}}\Rightarrow C'(y,z)=2yz$

$C=\int C'(y,z)\mathrm {d} y=y^{2}z+D(z)$

Dritte Bedingung einsetzen

$F_{z}=f_{3}=\underbrace {2xz+y^{2}+D'(z)} _{F_{z}}=\underbrace {y^{2}+2xz} _{f_{3}}\Rightarrow D'(z)=0$

0 integriert zu einer Konstante, nennen wir sie D. Nun zusammensetzen

$F=z^{2}x+x^{2}y+y^{2}z+D\,$