TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/2. Übungstest WS10/Gruppe 5 2010-12-03

Angabe

Beispiel 1

Man bestimme alle relativen Extrema der Funktion

$f(x,y)=9(x-3)(y^2+10y)+3x^3$

Beispiel 2

Man überprüfe, ob das Vekorfeld

$\overrightarrow{f}=\left(\begin{array}{c}{z}^2+2xy\\ x^2+2yz\\ y^2+2xz\end{array}\right)$

ein Gradientenfeld ist, und bestimme gegebenenfalls eine Stammfunktion $F(x,y)$.

Lösung

Beispiel 1

Zuerst die notwendige Bedingung prüfen $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f=\overrightarrow{0}$

$\begin{array}{cc}{f}_x& =9(y^2+10)y+9x^2=0\\ f_y& =9(x-3)(2y+10)=18(x-3)(y+5)=0\end{array}$

daraus die Kandidaten finden, aus fy kann man gleich zwei Fälle ablesen ablesen (y=-5, x=3) und diese in fx einsetzen.

Fall 1, y=-5 in fx einsetzen

$9(25-50)+9x^2=0\Rightarrow x^2=25\Rightarrow x_{1,2}=\pm 5$

$P_1(-5,-5),P_2(5,-5)$

Fall 2, x=3 in fx einsetzen

$9(y^2+10)y+9x^2|:9\Rightarrow (y^2+10)y+x^2\Rightarrow y^2+10y+9=0$

$P_3(3,-9),P_4(3,-1)$

Nun die Hessematrix bilden und die Kandidaten in die Determinante einsetzen um zu überprüfen ob sie Sattelpunkte oder Extrema sind. Dazu Ableitungen zweiter Ordnung bilden $\begin{array}{cc}{f}_{xx}& =18x\\ f_{yy}& =18(x-3)\\ f_{xy}& =f_{yx}=18(y+5)\end{array}$

${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}}_H=18^2(x(x-3)-(y+5{)}^2)$

$\begin{array}{cc}{P}_1& :{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}}_H>0,f_{xx}<0\Rightarrow \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\\ P_2& :{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}}_H>0,f_{xx}>0\Rightarrow \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\\ P_3& :{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}}_H<0\Rightarrow \mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}\\ P_4& :{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}}_H<0\Rightarrow \mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}\end{array}$

Beispiel 2

Integrabilitätsbedingungen prüfung, bei n=3 sind das 3

$\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial y}& =\frac{\partial f_2}{\partial x}& =2x\\ \frac{\partial f_1}{\partial z}& =\frac{\partial f_3}{\partial x}& =2z\\ \frac{\partial f_2}{\partial z}& =\frac{\partial f_3}{\partial y}& =2y\end{array}$

Eine Stammfunktion existiert also, die wir jetzt systematisch finden werden

$F=\int f_1\mathrm{d}x=z^{2}x+x^{2}y+C(y,z)$

Zweite Bedingung einsetzen

$F_y=f_2=\underset{F_y}{\underbrace{x^2+C^{\prime }(y,z)}}=\underset{f_2}{\underbrace{x^2+2yz}}\Rightarrow C^{\prime }(y,z)=2yz$

$C=\int C^{\prime }(y,z)\mathrm{d}y=y^{2}z+D(z)$

Dritte Bedingung einsetzen

$F_z=f_3=\underset{F_z}{\underbrace{2xz+y^2+D^{\prime }(z)}}=\underset{f_3}{\underbrace{y^2+2xz}}\Rightarrow D^{\prime }(z)=0$

0 integriert zu einer Konstante, nennen wir sie D. Nun zusammensetzen

$F=z^{2}x+x^{2}y+y^{2}z+D$