TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/3. Übungstest WS10/Gruppe 1 2011-01-20

Angabe

Beispiel 1

Man bestimme allgemeine Lösung der folgenden Differenzialgleichung $y''-3y'+2y=-6+8x$.

Beispiel 2

Man berechne ${\sqrt {13}}$ mit der Lösungsfolge des "Babylonischen Wurzelziehen" $x_{n+1}=\varphi (x_{n})={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)$ (zur Berechnung von ${\sqrt {a}}$). Wie kann man die Iterationsfolge graphisch ermitteln?

Lösung

Beispiel 1 - Vorschlag von thomas

Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (Buch S.296f.)

Dabei gilt für die allgemeine Lösung $y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)$

1. Berechnung der homogenen Gleichung:

Wir berechnen $y''-3y'+2y=0$ durch Exponentialansatz und erhalten die charakteristische Gleichung: $\lambda ^{2}-3\lambda +2=0$

Daraus erechnen wir uns die Wurzeln $\lambda _{1}=1$, $\lambda _{2}=2$ und sehen dass $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$, aber reellwertig sind. Gemäß Satz 7.35 ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung deswegen gegeben durch: $C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}$

also: $y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}$

2. Berechnung einer partikulären Lösung:

Die Störfunktion $s(x)=-6+8x$ hat die Form $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x+...+a_{k}x^{k}$ daher wählen wir mit der Methode des unbestimmten Ansatzes, die Versuchslösung $A_{0}+A_{1}x+...+A_{k}x^{k}$

also: $y_{p}(x)=A_{0}+A_{1}x$

Ableitungen bilden:

$y_{p}'=A_{1}$

$y_{p}''=0$

und in die inhomogene Gleichung (Angabe) einsetzen:

$0-3A_{1}+2(A_{0}+A_{1}x)=8x-6$

geschickt für Koeffizientenvergleich umformen (ausmultiplizieren, Klammern sind nur für besseres verständnis da)

$2A_{1}x+(-3A_{1}+2A_{0})=8x-6$

Koeffizientenvergleich und einsetzen ergibt $A_{1}=4$, $A_{0}=3$. Das in die Versuchslösung einsetzen und wir erhalten:

$y_{p}(x)=3+4x$

3. Ermittlung der Lösungsgesamtheit

aka, Terme zusammenstoppeln

$y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+3+4x$

scheint mir richtig :) --thomas 19:34, 20. Jan. 2011 (CET)