TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/3. Übungstest WS10/Gruppe 1 2011-01-20

Angabe

Beispiel 1

Man bestimme allgemeine Lösung der folgenden Differenzialgleichung $y^{″}-3y^{\prime }+2y=-6+8x$.

Beispiel 2

Man berechne $\sqrt{13}$ mit der Lösungsfolge des "Babylonischen Wurzelziehen" $x_{n+1}=\phi (x_n)=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$ (zur Berechnung von $\sqrt{a}$). Wie kann man die Iterationsfolge graphisch ermitteln?

Lösung

Beispiel 1 - Vorschlag von thomas

Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (Buch S.296f.)

Dabei gilt für die allgemeine Lösung $y(x)=y_h(x)+y_p(x)$

1. Berechnung der homogenen Gleichung:

Wir berechnen $y^{″}-3y^{\prime }+2y=0$ durch Exponentialansatz und erhalten die charakteristische Gleichung: ${\lambda }^2-3\lambda +2=0$

Daraus erechnen wir uns die Wurzeln ${\lambda }_1=1$, ${\lambda }_2=2$ und sehen dass ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, aber reellwertig sind. Gemäß Satz 7.35 ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung deswegen gegeben durch: $C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$

also: $y_h(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$

2. Berechnung einer partikulären Lösung:

Die Störfunktion $s(x)=-6+8x$ hat die Form $a_0+a_{1}x+a_{2}x+\mathrm{...}+a_k{x}^k$ daher wählen wir mit der Methode des unbestimmten Ansatzes, die Versuchslösung $A_0+A_{1}x+\mathrm{...}+A_k{x}^k$

also: $y_p(x)=A_0+A_{1}x$

Ableitungen bilden:

${y_p}^{\prime }=A_1$

${y_p}^{″}=0$

und in die inhomogene Gleichung (Angabe) einsetzen:

$0-3A_1+2(A_0+A_{1}x)=8x-6$

geschickt für Koeffizientenvergleich umformen (ausmultiplizieren, Klammern sind nur für besseres verständnis da)

$2A_{1}x+(-3A_1+2A_0)=8x-6$

Koeffizientenvergleich und einsetzen ergibt $A_1=4$, $A_0=3$. Das in die Versuchslösung einsetzen und wir erhalten:

$y_p(x)=3+4x$

3. Ermittlung der Lösungsgesamtheit

aka, Terme zusammenstoppeln

$y(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}+3+4x$

scheint mir richtig :) --thomas 19:34, 20. Jan. 2011 (CET)