TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/3. Übungstest WS10/Gruppe 5 2011-01-21

Angabe

Beispiel 1

Gegeben ist die Differenzengleichung $x_{n+1}={\frac {1}{4}}(x_{n}+4x_{n}^{2}-x_{n}^{3})\,n\geq 0$

• a) Berechnen Sie alle Gleichgewichtspunkte
• b) Untersuchen Sie die gefundenen Gleichgewichtspunkte auf Stabilität

Beispiel 2

• a) Lösen Sie die homogene Differentialgleichung $y''(x)-4y'(x)+5y(x)=0$
• b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $y''(x)-4y'(x)+5y(x)=5x$

Lösung

Beispiel 2 - Vorschlag von thomas

a)

Mittels Exponentialansatz erhalten wir die charakteristische Gleichung $\lambda ^{2}-4\lambda +5=0$

Die Wurzeln $\lambda _{1,2}$ sind konjungiert komplex ($=\alpha \pm i\beta$) und haben die Lösungen $2\pm i$ also $\alpha =2$, $\beta =1$.

Wir wählen daher den Ansatz: $y_{h}(x)=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x)\,$ und erhalten:

$y_{h}(x)=e^{2x}(C_{1}\cos 1x+C_{2}\sin 1x)\,$

b)

Die homogene Gleichung haben in a) gelöst, brauchen also noch eine partikuläre Lösung.

Dazu verwenden wir die Methode des unbestimmten Ansatzes, und wählen wegen der linearen Form von $s(x)=5x$ die Versuchslösung $y_{p}(x)=A_{0}+A_{1}x$

Ableitungen sind wie üblich $y'_{p}=A_{1}$ und $y''_{p}=0$, in die inhomogene Gl. eingesetzt:

${\begin{aligned}y''_{p}-4y'_{p}+5y_{p}&=5x\\0-4A_{1}+5(A_{0}+A_{1}x)&=5x\\5A_{1}x+(5A_{0}-4A_{1})&=5x+0\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich ergibt jeweils $A_{1}=1$ und folglich $5A_{0}-4=0\Rightarrow A_{0}={\frac {4}{5}}$

Daraus folgt die partikuläre Lösung (in den ursprünglichen Ansatz einsetzen) $y_{p}(x)={\frac {4}{5}}+x$

was mit der homogonenen Lösung aus a) die Lösungsgesamtheit ergibt:

$y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\underbrace {e^{2x}(C_{1}\cos 1x+C_{2}\sin 1x)} _{y_{h}(x)}+\underbrace {{\frac {4}{5}}+x} _{y_{p}(x)}$

yes. --thomas 15:37, 22. Jan. 2011 (CET)