TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/3. Übungstest WS10/Gruppe 5 2011-01-21

Angabe

Beispiel 1

Gegeben ist die Differenzengleichung $x_{n+1}=\frac{1}{4}(x_n+4x_n^2-x_n^3)n\ge 0$

• a) Berechnen Sie alle Gleichgewichtspunkte
• b) Untersuchen Sie die gefundenen Gleichgewichtspunkte auf Stabilität

Beispiel 2

• a) Lösen Sie die homogene Differentialgleichung $y^{″}(x)-4y^{\prime }(x)+5y(x)=0$
• b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $y^{″}(x)-4y^{\prime }(x)+5y(x)=5x$

Lösung

Beispiel 2 - Vorschlag von thomas

a)

Mittels Exponentialansatz erhalten wir die charakteristische Gleichung ${\lambda }^2-4\lambda +5=0$

Die Wurzeln ${\lambda }_{1,2}$ sind konjungiert komplex ($=\alpha \pm i\beta$) und haben die Lösungen $2\pm i$ also $\alpha =2$, $\beta =1$.

Wir wählen daher den Ansatz: $y_h(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$ und erhalten:

$y_h(x)=e^{2x}(C_1\cos 1x+C_2\sin 1x)$

b)

Die homogene Gleichung haben in a) gelöst, brauchen also noch eine partikuläre Lösung.

Dazu verwenden wir die Methode des unbestimmten Ansatzes, und wählen wegen der linearen Form von $s(x)=5x$ die Versuchslösung $y_p(x)=A_0+A_{1}x$

Ableitungen sind wie üblich $y{\text{'}}_p=A_1$ und $y^{\prime }{\text{'}}_p=0$, in die inhomogene Gl. eingesetzt:

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }{\text{'}}_p-4y{\text{'}}_p+5y_p& =5x\\ 0-4A_1+5(A_0+A_{1}x)& =5x\\ 5A_{1}x+(5A_0-4A_1)& =5x+0\end{array}$

Koeffizientenvergleich ergibt jeweils $A_1=1$ und folglich $5A_0-4=0\Rightarrow A_0=\frac{4}{5}$

Daraus folgt die partikuläre Lösung (in den ursprünglichen Ansatz einsetzen) $y_p(x)=\frac{4}{5}+x$

was mit der homogonenen Lösung aus a) die Lösungsgesamtheit ergibt:

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\underset{y_h(x)}{\underbrace{e^{2x}(C_1\cos 1x+C_2\sin 1x)}}+\underset{y_p(x)}{\underbrace{\frac{4}{5}+x}}$

yes. --thomas 15:37, 22. Jan. 2011 (CET)