TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/L'Hospital

Exkurs: L'Hospital

(Urbanek, 29.3.07)

Es wurde das SS07 Beispiel 1 durchgerechnet (fast).

• Bei 1(a) kommt als Zwischenergebnis $\frac{0}{0}$ heraus, daher wird laut Regel von l'Hospital Zähler und Nenner abgeleitet; dadurch kommt man auf einen Ausdruck $\frac{\to \mathrm{\infty }}{\to 0}$, was auf den Grenzwert $\mathrm{\infty }$ schließen läßt.

• Bei 2(b) wurde nur ein vereinfachter Ausdruck berechnet: $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{e^{4x}}$, der sich von der Angabe nur durch die Frozzelei mit den Konstanten unterscheidet.

Zwischenergebnis ist $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, nach der ersten Ableitung $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{16e^{4x}}=0$.

• Bei 1(c) ärgert man sich über das Zwischenergebnis $0\cdot \mathrm{\infty }$, das man aber auf 0/0 zurückführen kann:

$0\cdot \mathrm{\infty }=\frac{0}{\frac{1}{\mathrm{\infty }}}=\frac{0}{0}$.

Abgeleitet ergibt dieser Mist: $\underset{x\to 1/2}{lim}\frac{-2}{\frac{-(1+{\tan }^2(\pi x)\cdot \pi }{{\tan }^2(\pi x)}}=\underset{x\to 1/2}{lim}\frac{2}{(\frac{1}{{\tan }^2(\pi x)}+1)\cdot \pi }=\frac{2}{\pi }$

Der "Trick" mit dem Kehrwert kommt angeblich öfters vor.

--Baccus 12:12, 31. Mär 2007 (CEST)