TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/L'Hospital

Exkurs: L'Hospital

(Urbanek, 29.3.07)

Es wurde das SS07 Beispiel 1 durchgerechnet (fast).

• Bei 1(a) kommt als Zwischenergebnis ${\frac {0}{0}}$ heraus, daher wird laut Regel von l'Hospital Zähler und Nenner abgeleitet; dadurch kommt man auf einen Ausdruck ${\frac {\to \infty }{\to 0}}$, was auf den Grenzwert $\infty$ schließen läßt.

• Bei 2(b) wurde nur ein vereinfachter Ausdruck berechnet: $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}}{e^{4x}}}$, der sich von der Angabe nur durch die Frozzelei mit den Konstanten unterscheidet.

Zwischenergebnis ist ${\frac {\infty }{\infty }}$, nach der ersten Ableitung $\lim _{x\to \infty }{\frac {2}{16e^{4x}}}=0$.

• Bei 1(c) ärgert man sich über das Zwischenergebnis $0\cdot \infty$, das man aber auf 0/0 zurückführen kann:

$0\cdot \infty ={\frac {0}{\frac {1}{\infty }}}={\frac {0}{0}}$.

Abgeleitet ergibt dieser Mist: $\lim _{x\to 1/2}{\frac {-2}{\frac {-(1+\tan ^{2}(\pi x)\cdot \pi }{\tan ^{2}(\pi x)}}}=\lim _{x\to 1/2}{\frac {2}{\left({\frac {1}{\tan ^{2}(\pi x)}}+1\right)\cdot \pi }}={\frac {2}{\pi }}$

Der "Trick" mit dem Kehrwert kommt angeblich öfters vor.

--Baccus 12:12, 31. Mär 2007 (CEST)