TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Mi2Prüfung (Karigl)

Karigl 23. Mai 2007:

Bsp. 1: Finden Sie alle relativen Extrema der Funktion $f(x,y)=1-x^{4}-3y^{4}+2x^{2}-4y^{2}$

Bsp. 2: Gebietsintegral $\iiint \limits _{Z}dx\;dy\;dz$ über Zylinder $Z=\left\{(x,y,z)|\;1\leq x^{2}+y^{2}\leq 2,1\leq z\leq 3\right\}$

Lösung Bsp. 1

$f(x,y)=1-x^{4}-3y^{4}+2x^{2}-4y^{2}$

${\begin{array}{ll}f_{x}=-4x^{3}+4x=4x(1-x^{2})&=0:\quad \Longrightarrow x=0,x=\pm 1\\f_{y}=-12y^{3}-8y=-4y(3y^{2}+2)&=0:\quad \Longrightarrow y=0\end{array}}$

(Die Lösung $y={\sqrt {-{\tfrac {2}{3}}}}$ fällt aus, da komplexes Ergebnis!)

Die gefundenen Kandidaten sind also: (0,0), (1,0), (-1,0).

$\left.{\begin{array}{l}f_{xx}=-12x^{2}+4\\f_{xy}=0\\f_{yy}=-36y^{2}-8\end{array}}\right\}\quad D={\begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-12x^{2}+4&0\\0&-36y^{2}-8\end{vmatrix}}=(-12x^{2}+4)(-36y^{2}-8)$

$D={\begin{cases}(0,0):&-32\;<0\Rightarrow {\text{Sattelpunkt}}\\(1,0):&64\;>0\Rightarrow {\text{Extremum}}:\quad f_{xx}=-8\;<0\Rightarrow {\text{Maximum}}\\(-1,0):&64\;>0\Rightarrow {\text{Extremum}}:\quad f_{xx}=-8\;<0\Rightarrow {\text{Maximum}}\end{cases}}$

Lösung Bsp. 2

• ähnliches Beispiel: SS07 Beispiel 127

ähnlich (z=1..2)

Substitution in Zylinderkoordinaten (+ Intervalle):

${\begin{array}{ll}x=r\cdot \cos \varphi &1\leq r\leq {\sqrt {2}}\\y=r\cdot \sin \varphi &0\leq \varphi \leq 2\pi \\z=z&1\leq z\leq 3\end{array}}$

Funktionalmatrix:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\varphi ,z)}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-r\cdot \sin \varphi &r\cdot \cos \varphi &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=r\cdot (\underbrace {\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi } _{1})=r$

Damit erhalten wir

$\iiint \limits _{Z}=\int _{1}^{3}\int _{0}^{2\pi }\underbrace {\int _{1}^{\sqrt {2}}r\;dr} _{\left.{\frac {r^{2}}{2}}\right|_{1}^{\sqrt {2}}}\;d\varphi \;dz=\int _{1}^{3}\int _{0}^{2\pi }{\tfrac {1}{2}}\;d\varphi \;dz={\tfrac {1}{2}}\cdot 2\pi \cdot 2=2\pi$

(Kontrolle mit Hilfe der Formel für das (Hohl-)Zylindervolumen mögl.)