TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Mi2Prüfung (Karigl)

Karigl 23. Mai 2007:

Bsp. 1: Finden Sie alle relativen Extrema der Funktion $f(x,y)=1-x^4-3y^4+2x^2-4y^2$

Bsp. 2: Gebietsintegral $\underset{Z}{\iiint }dxdydz$ über Zylinder $Z=\{(x,y,z)|1\le x^2+y^2\le 2,1\le z\le 3\}$

Lösung Bsp. 1

$f(x,y)=1-x^4-3y^4+2x^2-4y^2$

$\begin{array}{cc}{f}_x=-4x^3+4x=4x(1-x^2)& =0:⟹x=0,x=\pm 1\\ f_y=-12y^3-8y=-4y(3y^2+2)& =0:⟹y=0\end{array}$

(Die Lösung $y=\sqrt{-\frac{2}{3}}$ fällt aus, da komplexes Ergebnis!)

Die gefundenen Kandidaten sind also: (0,0), (1,0), (-1,0).

$\begin{array}{c}{f}_{xx}=-12x^2+4\\ f_{xy}=0\\ f_{yy}=-36y^2-8\end{array}\}D=\left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{xy}& f_{yy}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-12x^2+4& 0\\ 0& -36y^2-8\end{array}\right|=(-12x^2+4)(-36y^2-8)$

$D=\{\begin{array}{cc}(0,0):& -32<0\Rightarrow \text{Sattelpunkt}\\ (1,0):& 64>0\Rightarrow \text{Extremum}:f_{xx}=-8<0\Rightarrow \text{Maximum}\\ (-1,0):& 64>0\Rightarrow \text{Extremum}:f_{xx}=-8<0\Rightarrow \text{Maximum}\end{array}$

Lösung Bsp. 2

• ähnliches Beispiel: SS07 Beispiel 127

ähnlich (z=1..2)

Substitution in Zylinderkoordinaten (+ Intervalle):

$\begin{array}{cc}x=r\cdot \cos \phi & 1\le r\le \sqrt{2}\\ y=r\cdot \sin \phi & 0\le \phi \le 2\pi \\ z=z& 1\le z\le 3\end{array}$

Funktionalmatrix:

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi ,z)}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \phi & \sin \phi & 0\\ -r\cdot \sin \phi & r\cdot \cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=r\cdot (\underset{1}{\underbrace{{\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi }})=r$

Damit erhalten wir

$\underset{Z}{\iiint }={\int }_1^3{\int }_0^{2\pi }\underset{{\frac{r^2}{2}|}_1^{\sqrt{2}}}{\underbrace{{\int }_1^{\sqrt{2}}rdr}}d\phi dz={\int }_1^3{\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}d\phi dz=\frac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot 2=2\pi$

(Kontrolle mit Hilfe der Formel für das (Hohl-)Zylindervolumen mögl.)