Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1 (Bereichsintegral)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berechnen sie die eingeschlossene Fläche zwischen den Kurven $y=x^{2}$ und $y={\sqrt {x}}$ des gegebenen Bereichintegrals:

$\iint _{B}(2+3x)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

(1) Man bestimme ob folgende unbestimmten Integrale konvergieren und berechne gegebenfalls die Werte der Integrale:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-{\sqrt {x}}}}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x$ und $\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x$

(2) Formulieren Sie das Integralkriterium für unendliche Reihen der Form $\sum _{n=0}^{\infty }f(n)$ .

(3) Unter Benützung des Integralkriteriums untersuche man die Konvergenz der folgenden Reihen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-{\sqrt {n}}}}{\sqrt {n}}}$ und $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}$

(1) Man definiere die Begriffe relatives und absolutes Extremum.

(2) Man formuliere notwendige Bedingungen für das Vorliegen eines relativen Extremums einer Funktion $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ .

(3) Wie wird eine Nebenbedingung $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ beachtet.

Man überprüfe durch Einsetzen ob die Funktion $y_{p}=2x(x+1)$ Lösung der Differentialgleichung

$y'-{\frac {1+x}{2x}}y(x)=1+2x-x^{2}$

ist. Weiters bestimme man die allgemeine Lösung sowie das Startproblem $y(1)={\sqrt {\mathrm {e} }}+2$ .

Theoriefragen zu Rekursionen.