TU Wien:Mathematik 2 VO (Karigl)/Prüfung 2009-10-09

Angabe

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Beispiel 1: Extremwertaufgaben

Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren diejenigen Punkte auf der Parabel $x^{2}+y=1$, die dem Ursprung am nächsten liegen.

Beispiel 2: Differenzengleichung

Gesucht ist die Lösung der Rekursion

$x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_{n}=8\,\,\,\,(n\geq 0)$

zur Anfangsbedingung $x_{0}=2,\,x_{1}=8$

Beispiel 3: Numerische Mathematik

Der Gebrauchtwert einer EDV-Anlage betrage nach zwei Jahren noch 50%, nach vier Jahren nur noch 20% des Anschaffungspreises, nach 5 Jahren sei die Anlage praktisch wertlos. Man ermittle ein geeignetes Interpolationspolynom $p(t)$ als Funktion der Nutzungsdauer $t$, das mit diesen empirischen Daten für $t=2,4,5$ übereinstimmt und für $t=0$ den Wert 100 (Neuwert mit 100%) annimmt. Ferner bestimme man damit den relativen Wertverlust der Anlage im ersten Jahr.

Lösung:

Beispiel entspricht Buch s.406

Beispiel 4: Theoriefragen zur Differentialrechnung

a) Was versteht man unter einer homogenen bzw. inhomogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung? Geben Sie je ein konkretes Beispiel an. (s.293)

Lösungsvorschlag:

y'+a(x)y = 0 // homogene gleichung

y'+a(x)y = s(x) // inhomogene gleichung

Beispiel homogen:

y'+5y(x) = 0

Beispiel inhomogen:

y'(x)+2y(x) = 6

b) Man formuliere den "Satz über die Lösungsgesamtheit" einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung.

s.293

c) Was versteht man unter der "Methode der Trennung der Variablen" bei Differentialgleichungen erster Ordnung?

s.294

Im Prinzip wird bei der Differentialgleichung bei gegebener Gleichung mit z.B. x,y die Variable x auf eine Seite der Gleichung gebracht und die Variable y auf die andere Seite.

d) Was versteht man unter der charakteristischen Gleichung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten? Geben Sie ein konkretes Beispiel an.

s.297

allg. Form:

$y''+ay'+by=0$ homogene gleichung

$y''+ay'+by=s(x)$ inhomogene gleichung

wobei a, b konstante koeffizenten sind.

Durch Ersetzen von y durch lambda und gleich Null setzen der Gleichung, erhält man eine quadratische Gleichung, welche als charakteristischen Gleichung bezeichnet wird. Lambdas werden als charakteristische Wurzeln bezeichnet.

Beispiel:

homogen:

$\lambda ^{2}+\lambda -2\lambda =0$

inhomogen:

$\lambda ^{2}+\lambda -2\lambda =2x-3$

2x-3 wird durch "Versuchslösung" gelöst.

Beispiel 5: Theoriefragen zur Integralrechnung

Zu dem Integral $\int {\frac {3x^{2}}{1-x^{3}}}\,\mathrm {d} x$ beantworte man die folgenden Fragen (bitte ankreuzen):

Handel es sich um ein	[ ] bestimmtes [ ] unbestimmtes [ ] uneigentliches Integral?
Das Integral ist eindeutig bis auf eine additive Konstante bestimmt.	[ ] ja [ ] nein
Das Integral ist der Limes von Riemann'schen Zwischensummen.	[ ] ja [ ] nein
Das Integral kann durch partielle Integration bestimmt werden.	[ ] ja [ ] nein
Das Integral kann durch Partialbruchzerlegung bestimmt werden.	[ ] ja [ ] nein
Das Integral kann durch eine Substitution gelöst werden.	[ ] ja [ ] nein
Zur Berechnung dieses Integrals können verwendet werden:	[ ] Euler'sches Polygonzugverfahren [ ] Kepler'sche Fassregel [ ] Sehnentrapezformel
Das Integral ist durch folgende Stammfunktionen gegeben:	[ ] $ln(1-x^{3})$ [ ] $-ln(1+x^{3})$ [ ] $-ln(1-x^{3})$

Lösung zum MC

• Das Integral $\int {\frac {3x^{2}}{1-x^{3}}}$war gegeben. Dazu gab es die folgenden Fragen (Multiple Choice):

 Was ist das für ein Integral?
 Antwort: bestimmtes, unbestimmtes oder uneigentliches
 

 Das Integral ist eindeutig bis auf eine additive Konstante bestimmt?
 Antwort: Ja (quasi eindeutig ausrechenbar und additative konstante ist nix weiter als das  + C ?)

 Kann man es mit einer Partialbruchzerlegung lösen?
 Antwort: Ja / Nein
 Meinung:
 ich meine eher Nein
 Ich meine auch Ja, da man eine Partialbruchzerlegung durchführen kann, siehe http://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fractions+%283x%C2%B2%29%2F%281-x%C2%B3%29.
 

 Kann man es mit der partiellen Integration lösen?
 Antwort: Ja / Nein

 Kann man es mittels Substitution lösen?
 Antwort: Ja / Nein

 Welche Stammfunktion besitzt dieses Integral(3 Möglichkeiten waren gegeben)?
 Antwort: -ln(1 - x^3)

 Interpretation einer Riemann'schen Summe?
 Antwort:  Ja / Nein
 Begründung: da keine Grenzen gegeben sind(?)

 Lösbar mit Euler Polynomenzug / Kepler Fassregel / Trapezregel
 Antwort: Keines

Anmerkungen

Seiten beziehen sich auf die 2. Auflage

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