TU Wien:Mathematik 2 VO (Karigl)/Prüfung 2009-12-04

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Beispiel 1

In einem CallCenter sind die einkommenden Gespräche exponentialverteilt nach der Formel $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ mit $\lambda >0$, $x>=0$

Funktion skizzieren, Zeigen das Funktion die Fläche 1 einschließt, Dichtefunktion bestimmen, die durch $\mu =\int _{0}^{\infty }xf(x)dx$ definiert ist.

Skizze:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:ExpVerteilungF.svg&filetimestamp=20080213004429

Zeige das Funktion die Fläche 1 einschliesst: ?? Lösung ??

Berechnung des Erwartungswert:

siehe Forum

Beispiel 2

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung durch Trennung der Variablen $y'={\frac {2y-1}{x}}$

s. 294

die Variablen x bzw. y je auf eine Seite der Gleichung bringen, daher auch die Bezeichung "Trennung der Variablen". Integrieren, y ausdrücken, fertig.

ausführliche Lösung, letztes Bild im Anhang

Beispiel 3

lineares Gleichungssystem lösen - ziemlich ident wie das Beispiel der Prüfung vom 5.10.2007

Praktisch ident bis auf eine Zeile: Lösung

Beispiel 4

Man definiere Begriffe Gradient, Vektorfeld, Gradientenfeld und Stammfunktion eines Vektorfeldes. Weiters formuliere man die so genannte Integrabilitätsbedingung für die Existenz einer Stammfunktion eines Vektorfeldes. Man gebe ferne ein Beispiel für ein Vektorfeld an, welches ein Gradientenfeld darstellt und eines, dass kein Gradientenfeld ist.

Gradient(s.234):

Sei $D\subseteq R^{n}$ eine offene Menge und $f:D\rightarrow R$ eine total differenzierbare Funktion. Dann heißt der Vektor $gradf=(f_{x1}...f_{xn})$

Gradient von f.

Gradientenfeld (s.261):

Sei $D\subseteq R^{n}$ ein Gebiet und f ein stetiges Vektorfeld. Man nennt f ein Gradientenfeld, wenn es ein Skalarfeld F mit grad F = f gibt. In diesem Fall heisst F Stammfunktion und - F Potential von f.

Vektorfeld: (s.227)

Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorwertige Funktionen, deren Defintion u. Bildbereich Teilmenge von R^n und R^m sind, mit n=m nennt man Vektorfelder

siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorfeld

Beispiel mit Gradientenfeld (Integrabiltitätsbedingung muss erfüllt sein):

${\begin{pmatrix}x^{2}-y\\2xy\end{pmatrix}}$

da f1 abgeleitet nach x und f2 abgeleitet nach y folgendes ergibt: 2x

ohne Gradientenfeld:

${\begin{pmatrix}xy\\2x2y\end{pmatrix}}$

Stammfunktion eines Vektorfeldes:

siehe Gradientenfeld

Integrabilitätsbedingung:

Mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung kann überprüft werden, ob ein Vektorfeld ein Gradientenfeld ist.

siehe:

bs. 261

http://de.wikipedia.org/wiki/Integrabilit%C3%A4tsbedingung

Beispiel 5

Funktion $e^{x}*(x^{3}-5x^{2}+7x+y^{2}-7)$, 3 Stationäre Punkte, Determinante der Hessematrix und Fyy waren gegeben. Multiple Choice Fragen dazu - unter anderem: Ob die 3 Stationären Punkte lokale Minima, Maxima oder Sattelpunkte sind.

Lösungsvorschlag(Korrektheit ist nicht sicher!):

fx = e^x(x^3-2x^2 - 3x + y^2)

fxx = e^x(x^3+x^2-7x-3+y^2)

fxy = 2ye^x

Determinante = fxx*fyy - (fxy)^2 // Durchumformen erhält man das was in der Angabe steht!

in Punkt (0,0) liegt ein: Sattelpunkt, da Determinante negativ ist

in Punkt (3,0) liegt ein: lokales Minimum, da Det positiv (24e^6) und fxx > 0

in Punkt(-1,0) liegt ein: lokales Minimum, da Det positiv (8*1(e^2)) und fxx > 0

Die Funktion in Wolfram:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=e^x*x^3-e^x*5x^2%2B7xe^x%2By^2e^x-7e^x

http://www.wolframalpha.com/input/?i=e^x(x^3-5x^2%2B7x%2By^2-7)

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Anmerkung

Buchseiten beziehen sich auf die 2. Auflage