TU Wien:Mathematik 2 VO (Panholzer)/Prüfung 2008-07-01

Ich habe beim Ausräumen meiner alten Laptop-Tasche noch eine Niederschrift dieser Prüfung (direkt aus der Prüfung) gefunden. Der Zettel ist aber leider nicht von mir (weshalb ich mir teilweise beim entziffern schwer tue) und das ganze ist 3 Monate her, was das ganze auch nicht leichter macht. Im großen und ganzen sollte es aber stimmen.

Beispiel 1 (8 Punkte)

a) (2 Punkte)

Man definiere den Begriff "Gleichgewichtspunkte" einer expliziten autonomen Differenzengleichung erster Ordnung:

$x_{n+1}=\phi (x_{n})$

b) (3 Punkte)

Man formuliere das "Newtonsche Nährungsverfaren" zum Lösen der Gleichung $f(x)=0$

c) (3 Punkte)

Man formuliere das Iterationsverfahren "regula falsi" zum lösen einer Gleichung $f(x)=0$

Beispiel 2 (8 Punkte)

a) (2 Punkte)

Man erkläre die Begriffe Gradientenfeld und Stammfunktion eines Vektorfeldes ${\vec {f}}({\vec {x}})$.

b) (2 Punkte)

Definiere Integrabilitätsbedingung.

c) (2 Punkte)

Wie ist das Kurvenintegral des Vektorfeldes ${\vec {f}}({\vec {x}})$ längs der Kurve ${\vec {c}}(t)$ definiert?

d) (2 Punkte)

Sei ${\vec {f}}({\vec {x}})$ ein Gradientenfeld und ${\vec {c}}(t)$ eine stetig differenzierbare geschlossene Kurve in einem Gebiet $D\subset R^{n}$. Welcher Wert besitzt dann das Kurvenintegral

$\oint \limits _{\vec {c}}{\vec {f}}({\vec {x}})d{\vec {x}}$

Beispiel 3 (8 Punkte)

achtung: vermutlich ein fehler beim abschreiben der angabe:

Gegeben ist die Funktion

$f(x,y)={\frac {x+y-\cos {\frac {1}{y}}}{x+y}}$ mit $0\not =y\not =-x$.

richtig sollte sein:

$f(x,y)={\frac {x+y\cdot \cos {\frac {1}{y}}}{x+y}}$ mit $0\not =y\not =-x$.

Man bilde den iterierten Grenzwert

a) (3 Punkte)

$\lim \limits _{y\to 0}(\lim \limits _{x\to 0}f(x,y))$

b) (3 Punkte)

$\lim \limits _{x\to 0}(\lim \limits _{y\to 0}f(x,y))$

c) (2 Punkte)

$\lim \limits _{y\to 0\wedge x\to 0}f(x,y))$

Beispiel 4 (8 Punkte)

Man gebe alle relativen Minima, Maxima und Sattelpunkte folgender Funktion an:

$f(x,y)=x^{3}+y^{3}+3xy$

Beispiel 5 (8 Punkte)

Man gebe die allgemeine Lösung der nachfolgenden Differenzengleichung an:

$x_{n+2}-2x_{n+1}+2x_{n}=1+n$