TU Wien:Mathematik 2 VO (Panholzer)/Prüfung 2008-11-28

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Theorie

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a) Man definiere für eine Funktion f(x,y) mit f: D R^2 -> R, wann f an der Stelle (x0, y0) partiell nach x differenzierbar bzw. partiell nach y differenzierbar ist.

b) Für eine total differenzierbare Funktion f(x1,...xn), mit f: D R^2 - > R definiere man den Begriff "Gradient von f".

c) Man definiere den Begriff Richtungsableitung von f: D R^n -> R nach einem Vektor v(Pfeil) an der Stelle x(Pfeil) element aus D.

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a)Gleichgewichtspunkt

b) Stabil, asymptotisch stabil und instabil

c) Man formuliere ein Kriterium, mit welchem man für eine Differenzengleichung x n+1 = f(x) asymptotisch stabil bwz. instabil ist.

Praxis

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F(x,y) = x^2 *(y-1) + xe^y^2

a) Man bestimme die lineare Approximation der Funktion f(x,y) um den Entwicklungspunkt (x,y) = (0,1)

b) Man bestimme die quadratische Approximation der Funktion f(x,y) um den Entwicklungspunkt (x,y) = (0,1)

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a) Man bestimme, ob das folgende unbestimmte Integral konvergiert und berechne gegebenenfalls den Wert des Integrals: int von 0 nach unendlich (xe^-x^2) dx

b) Selbe Fragestellung

int von 2 nach unendlich von (1/(x lnx) nach dx

c) Unter Benützung des Integralkriteriums untersuche man die Konvergenz der folgenden Reihen:

i. Summe n = 0 bis Unendlich (n*e^-n^2) ii. Summe n=2 bis (1/(n ln(n))

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Inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung:

y'(x) - tan(x) * y(x) = tan(x)