Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man zeige, daß für die Fouriermatrix $F_{N}$ , gegeben durch

F_{N}:={\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\cdots &\omega ^{{(N-1)}^{2}}\\\end{pmatrix}}

mit $\omega =e^{2\pi i/N}$ gilt:

F_{N}\cdot {\overline {F_{N}}}=N\cdot E_{N}

Dabei bezeichnet ${\overline {F_{N}}}$ die konjugierte matrix und $E_{N}$ die $N\times N$ -Einheitsmatrix.

Anmerkung (Bei Prof. Panholzer WS 06): Dabei bezeichnet ${\overline {F_{N}}}$ die konjugierte Matrix und $E_{N}$ die $N$ -te Einheitsmatrix.

Anmerkung: Das Element in der $r$ -ten Zeile und $s$ -ten Spalte der Matrix $F_{N}\cdot {\overline {F_{N}}}$ berechnet sich durch

\sum _{k=0}^{N-1}\omega ^{k(r-1)}\cdot \omega ^{-k(s-1)}

Man unterscheide zwischen $r=s$ und $r\neq s$ .

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quelle: WS 05 Gittenberger Bsp. 78, WS 06 Panholzer Bsp. 59