TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 59

Angabe

Man zeige, daß für die Fouriermatrix $F_N$, gegeben durch

$F_N:=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& \omega & {\omega }^2& \cdots & {\omega }^{N-1}\\ 1& {\omega }^2& {\omega }^4& \cdots & {\omega }^{2(N-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\omega }^{N-1}& {\omega }^{2(N-1)}& \cdots & {\omega }^{{(N-1)}^2}\end{array}\right)$

mit $\omega =e^{2\pi i/N}$ gilt:

$F_N\cdot \overline{F_N}=N\cdot E_N$

Dabei bezeichnet $\overline{F_N}$ die konjugierte matrix und $E_N$ die $N\times N$-Einheitsmatrix.

Anmerkung (Bei Prof. Panholzer WS 06): Dabei bezeichnet $\overline{F_N}$ die konjugierte Matrix und $E_N$ die $N$-te Einheitsmatrix.

Anmerkung: Das Element in der $r$-ten Zeile und $s$-ten Spalte der Matrix $F_N\cdot \overline{F_N}$ berechnet sich durch

$\sum _{k=0}^{N-1}{\omega }^{k(r-1)}\cdot {\omega }^{-k(s-1)}$

Man unterscheide zwischen $r=s$ und $r\ne s$.

Hilfreiches

• Mein Lösungsvorschlag als PDF (LaTeX-Source). --Markus Nemetz 17:42, 13. Jan 2007 (CET)
• Vachenauer 2, S. 327ff. --Markus Nemetz 20:12, 16. Dez 2006 (CET)

Websites

• Mathe3 UE 9 PDF - Bsp. 64 --Markus Nemetz 19:51, 15. Dez 2006 (CET)
• Anschauliche Erklärung --Markus Nemetz 20:24, 16. Dez 2006 (CET)
• Website Uni Stuttgart zum Thema --Markus Nemetz 10:05, 8. Jan 2007 (CET)

Quelle: WS 05 Gittenberger Bsp. 78, WS 06 Panholzer Bsp. 59