TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 70

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Angabe[Bearbeiten]

Unter Verwendung des Fourier-Integraltheorems und der in der Vorlesung hergeleiteten Transformierten des Rechteckimpulses zeige man

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin \omega}{\omega} e^{-i\omega x} \operatorname{d}\omega = \begin{cases} \pi, & \forall \, |x| < 1\\ \frac{\pi}{2}, & \forall \, |x| = 1\\ 0 , & \forall \, |x| > 1 \end{cases}

Was ergibt das Integral \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin \omega}{\omega} \operatorname{d}\omega   ?

Lösung[Bearbeiten]

Aus der UE "PA"[Bearbeiten]

Substituiere \omega = -v:

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin (-v)}{-v} e^{-i(-v)x} \operatorname{d}(-v) =
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin v}{v} e^{i v x} \operatorname{d}v \qquad (*)

Aus der Übung ist bekannt:

\mathcal{F}\{ \sqcap(t) \} = 2 \frac{\sin \omega}{\omega}

Wobei \sqcap(t) = \begin{cases} 1, & \forall \, |x| \leq 1 \\ 0, & \forall \, |x| > 1 \end{cases}

Daraus folgt:

\mathcal{F}^{-1} \{ \frac{\sin \omega}{\omega} \} = \frac{1}{2} \sqcap(t)

Man betrachte das Fourier-Integraltheorem:

\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{F}\{f(t)\} e^{i \omega x} \operatorname{d}\omega = \frac{f(t^{+}) + f(t^{-})}{2}

Damit können wir (*) weiter umformen:

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin v}{v} e^{i v x} \operatorname{d}v = 
2 \pi \frac{\frac{1}{2} \sqcap(t^{+}) + \frac{1}{2} \sqcap(t^{-})}{2} = 
\frac{\pi}{2}(\sqcap(t^{+})+\sqcap(t^{-}))

Da \sqcap(t) = 1 für |t| \leq 1 und \sqcap(t) = 0 für |t| > 0 ist, kann man sich leicht davon überzeugen, daß das der gesuchten Funktion entspricht:

t \in (-1,1): \frac{\pi}{2}(\sqcap(t^{+})+\sqcap(t^{-})) = \frac{\pi}{2}(1+1) = \pi
t \in \{-1; 1\}: \frac{\pi}{2}(\sqcap(t^{+})+\sqcap(t^{-})) = \frac{\pi}{2}(0+1) = \frac{\pi}{2}
t \in (-\infty,-1)\cup(1,\infty): \frac{\pi}{2}(\sqcap(t^{+})+\sqcap(t^{-})) = \frac{\pi}{2}(0+0) = \frac{\pi}{2}

Aus der UE "KU"[Bearbeiten]

(siehe PDF oben)