TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 70

Angabe

Unter Verwendung des Fourier-Integraltheorems und der in der Vorlesung hergeleiteten Transformierten des Rechteckimpulses zeige man

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin \omega }{\omega }}e^{-i\omega x}\operatorname {d} \omega ={\begin{cases}\pi ,&\forall \,|x|<1\\{\frac {\pi }{2}},&\forall \,|x|=1\\0,&\forall \,|x|>1\end{cases}}$

Was ergibt das Integral $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\operatorname {d} \omega$   ?

Lösung

• Mein Lösungsvorschlag als PDF (eingearbeitet ist der von Jensi aus der UE-Gruppe "PA") (LaTeX-Source) --Markus Nemetz 21:18, 19. Jan 2007 (CET)

Aus der UE "PA"

Substituiere $\omega =-v$:

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(-v)}{-v}}e^{-i(-v)x}\operatorname {d} (-v)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin v}{v}}e^{ivx}\operatorname {d} v\qquad (*)$

Aus der Übung ist bekannt:

${\mathcal {F}}\{\sqcap (t)\}=2{\frac {\sin \omega }{\omega }}$

Wobei $\sqcap (t)={\begin{cases}1,&\forall \,|x|\leq 1\\0,&\forall \,|x|>1\end{cases}}$

Daraus folgt:

${\mathcal {F}}^{-1}\{{\frac {\sin \omega }{\omega }}\}={\frac {1}{2}}\sqcap (t)$

Man betrachte das Fourier-Integraltheorem:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\mathcal {F}}\{f(t)\}e^{i\omega x}\operatorname {d} \omega ={\frac {f(t^{+})+f(t^{-})}{2}}$

Damit können wir (*) weiter umformen:

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin v}{v}}e^{ivx}\operatorname {d} v=2\pi {\frac {{\frac {1}{2}}\sqcap (t^{+})+{\frac {1}{2}}\sqcap (t^{-})}{2}}={\frac {\pi }{2}}(\sqcap (t^{+})+\sqcap (t^{-}))$

Da $\sqcap (t)=1$ für $|t|\leq 1$ und $\sqcap (t)=0$ für $|t|>0$ ist, kann man sich leicht davon überzeugen, daß das der gesuchten Funktion entspricht:

$t\in (-1,1):{\frac {\pi }{2}}(\sqcap (t^{+})+\sqcap (t^{-}))={\frac {\pi }{2}}(1+1)=\pi$

$t\in \{-1;1\}:{\frac {\pi }{2}}(\sqcap (t^{+})+\sqcap (t^{-}))={\frac {\pi }{2}}(0+1)={\frac {\pi }{2}}$

$t\in (-\infty ,-1)\cup (1,\infty ):{\frac {\pi }{2}}(\sqcap (t^{+})+\sqcap (t^{-}))={\frac {\pi }{2}}(0+0)={\frac {\pi }{2}}$

Aus der UE "KU"

(siehe PDF oben)