TU Wien:Mathematik 3 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 70

Angabe

Unter Verwendung des Fourier-Integraltheorems und der in der Vorlesung hergeleiteten Transformierten des Rechteckimpulses zeige man

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin \omega }{\omega }{e}^{-i\omega x}\mathrm{d}\omega =\{\begin{array}{cc}\pi ,& \mathrm{\forall }|x|<1\\ \frac{\pi }{2},& \mathrm{\forall }|x|=1\\ 0,& \mathrm{\forall }|x|>1\end{array}$

Was ergibt das Integral ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin \omega }{\omega }\mathrm{d}\omega$   ?

Lösung

• Mein Lösungsvorschlag als PDF (eingearbeitet ist der von Jensi aus der UE-Gruppe "PA") (LaTeX-Source) --Markus Nemetz 21:18, 19. Jan 2007 (CET)

Aus der UE "PA"

Substituiere $\omega =-v$:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (-v)}{-v}{e}^{-i(-v)x}\mathrm{d}(-v)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin v}{v}{e}^{ivx}\mathrm{d}v(\ast )$

Aus der Übung ist bekannt:

$ℱ\{\sqcap (t)\}=2\frac{\sin \omega }{\omega }$

Wobei $\sqcap (t)=\{\begin{array}{cc}1,& \mathrm{\forall }|x|\le 1\\ 0,& \mathrm{\forall }|x|>1\end{array}$

Daraus folgt:

${ℱ}^{-1}\{\frac{\sin \omega }{\omega }\}=\frac{1}{2}\sqcap (t)$

Man betrachte das Fourier-Integraltheorem:

$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}ℱ\{f(t)\}{e}^{i\omega x}\mathrm{d}\omega =\frac{f(t^{+})+f(t^{-})}{2}$

Damit können wir (*) weiter umformen:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin v}{v}{e}^{ivx}\mathrm{d}v=2\pi \frac{\frac{1}{2}\sqcap (t^{+})+\frac{1}{2}\sqcap (t^{-})}{2}=\frac{\pi }{2}(\sqcap (t^{+})+\sqcap (t^{-}))$

Da $\sqcap (t)=1$ für $|t|\le 1$ und $\sqcap (t)=0$ für $|t|>0$ ist, kann man sich leicht davon überzeugen, daß das der gesuchten Funktion entspricht:

$t\in (-1,1):\frac{\pi }{2}(\sqcap (t^{+})+\sqcap (t^{-}))=\frac{\pi }{2}(1+1)=\pi$

$t\in \{-1;1\}:\frac{\pi }{2}(\sqcap (t^{+})+\sqcap (t^{-}))=\frac{\pi }{2}(0+1)=\frac{\pi }{2}$

$t\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty }):\frac{\pi }{2}(\sqcap (t^{+})+\sqcap (t^{-}))=\frac{\pi }{2}(0+0)=\frac{\pi }{2}$

Aus der UE "KU"

(siehe PDF oben)