TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 357

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Man betrachte die lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten in drei Variablen

au_x + bu_y + cu_z = f(x,y,z) \qquad (a,b,c \in \R).

Man zeige, dass diese Gleichung mit Hilfe der Substitution

\;\xi = x, \;\eta = bx - ay, \;\zeta=cx-az

allgemein gelöst werden kann. Insbesondere finde man damit die allgemeine Lösung der Gleichung

\;2u_x + 3u_y + 4u_z = e^{x+y+z}.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

x = \xi

y = \frac{bx - \eta}{a}

z = \frac{cx - \zeta}{b}

U(\xi, \eta, \zeta) = u(\xi, \frac{bx - \eta}{a}, \frac{cx - \zeta}{b}) = u(x,y,z)

F(\xi, \eta, \zeta) = f(\xi, \frac{bx - \eta}{a}, \frac{cx - \zeta}{b}) = f(x,y,z)

\begin{align}F(\xi, \eta, \zeta)
&= f(x,y,z) \\
&= au_x + bu_y + cu_z \\
&= a (U_\xi\xi_x + U_\eta\eta_x + U_\zeta\zeta_x) + b (U_\xi\xi_y + U_\eta\eta_y + U_\zeta\zeta_y) + c (U_\xi\xi_z + U_\eta\eta_z + U_\zeta\zeta_z) \\
&= a (1\cdot U_\xi + b\cdot U_\eta + c\cdot U_\zeta) + b (0\cdot U_\xi - a\cdot U_\eta + 0\cdot U_\zeta) + c (0\cdot U_\xi + 0\cdot U_\eta - a\cdot U_\zeta) \\
&= aU_\xi + abU_\eta + acU_\zeta - abU_\eta - acU_\zeta \\
&= aU_\xi
\end{align}

\begin{align}
U(\xi, \eta, \zeta) &= \frac{1}{a}\int F(\xi, \eta, \zeta) \,\mathrm{d}\xi + G(\eta) + H(\zeta) \\
u(x,y,z) &= \frac{1}{a}\int_{x_0}^x F(\xi, bx-ay, cx-az) \,\mathrm{d}\xi + G(bx-ay) + H(cx-az)
\end{align}

In der Gleichung 2u_x + 3u_y + 4u_z = e^{x+y+z} sind a=2, b=3, c=4 und f(x,y,z) = e^{x+y+z}. Daraus folgen \xi=x, \eta=3x-2y, \zeta=4x-2z, y=\frac{3\xi - \eta}{2} und z=\frac{4\xi - \zeta}{2}.

\begin{align} U(\xi, \eta, \zeta)
&= \frac{1}{2} \int e^{\xi + \frac{3\xi - \eta}{2} + \frac{4\xi - \zeta}{2}} \,\mathrm{d}\xi + G(\eta) + H(\zeta) \\
&= \frac{1}{2} \int e^{\frac{9\xi - \eta - \zeta}{2}} \,\mathrm{d}\xi + G(\eta) + H(\zeta) \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{9} e^{\frac{9\xi - \eta - \zeta}{2}} + G(\eta) + H(\zeta) \\
&= \frac{1}{9} e^{\frac{9\xi - \eta - \zeta}{2}} + G(\eta) + H(\zeta) \\
u(x,y,z)
&= \frac{1}{9} e^{\frac{9x - 3x + 2y - 4x + 2z}{2}} + G(3x-2y) + H(4x-2z) \\
&= \frac{1}{9} e^{x + y + z} + G(3x-2y) + H(4x-2z) \\
\end{align}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

117a.png 117b.png

Links[Bearbeiten]

Anmerkungen:

Da nur 1x integriert wird, kommen nicht zwei (G und H), sondern nur eine Funktion dazu, die von Eta und Zeta abhängt.