TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/10.VO LaTeX

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    %   Created by Markus Diem, Markus Nemetz
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    \documentclass[12pt,a4paper]{article}
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                                                                    %fuer angabe der rationalen zahlen etc.

        \renewcommand{\captionfont}{\footnotesize}
        \setlength{\belowcaptionskip}{3pt}

        \renewcommand{\arraystretch}{1.3}                               %abstand beim brechen der formeln

    %**************************************************
    % spezifische Makros
    %**************************************************
        \newcommand{\real}{\mathds{R}}
        \newcommand{\definition}    {\textbf{Definition: }}
        \newcommand{\bsp}                   {\textbf{Beispiel: }}

        \title{\textbf{Mathematik III} \linebreak
        \large{Vorlesung 10, 15.12.2006}}
        \author{Markus Nemetz\\basierend auf den Aufzeichnungen von Michael Birsak}
    \date{Dezember 2006}

    \DeclareGraphicsExtensions{.eps}

    \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

    \begin{document}
    \maketitle

    \section{Vorbemerkung}
    Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO
    empfohlenen Lekt{\"u}re gebracht - sie sind hier nicht angef{\"u}hrt.

    Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die
    jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den {\"U}bungsbeispielen, die
    in ausgearbeiteter Form jeweils nach der {\"U}bungsrunde auf
    \emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind.

    \begin{flushright}
    Markus Nemetz

    22.12.2006
    \end{flushright}

    \section{Fourier-Reihen}
    Geg.: $f(t)$, $T$-periodisch $\rightsquigarrow S_f(t)$ -
    zusammengesetzt aus $g(t) \rightsquigarrow S_g(t)$,$h(t) \rightsquigarrow
    S_h(t)$.
    \begin{itemize}
        \item \textbf{Eindeutigkeitssatz}

            Gilt f{\"u}r zwei st{\"u}ckweise stetige Funktionen
            $g(t)$,$h(t)$ mit Periode $T$ die sog.
            Mittelwerteigenschaft
            \begin{gather*}
                \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}=f(t)
            \end{gather*}
            \begin{center}
                \includegraphics[scale=0.3]{10_FRb.eps}
            \end{center}
            Falls nun $S_g(t) = S_h(t)$ so gilt $g(t)=h(t)$-
        \item \textbf{Darstellungssatz (f{\"u}r gleichm{\"a}ssige
        Konvergenz von $S_f(t)$)}

            Geg.: Stetige, $T$-periodische Funktion $f(t)$, deren
            Fourierreihe $S_f(t)$ gleichm{\"a}ssig auf $[0,T]$
            konvergiert.

            Dann gilt: $S_f(t)=f(t), \forall t \in \mathbb{R}$
        \item \textbf{Darstellungssatz (f{\"u}r st{\"u}ckweise
        differenzierbare Funktionen)}

            Geg,; $T$-periodische Funktion $f(t)$, st{\"u}ckweise
            stetig differenzierbar auf $[0,T]$. Dann gilt f{\"u}r die
            Fourier-Reihe $S_f(t)$:
            \begin{itemize}
                \item $S_f(t)$ konvergiert punktweise f{\"u}r alle $t
                \in \mathbb{R}$
                \item
                \begin{gather*}
                    \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}=f(t), \forall t \in \mathbb{R}
                \end{gather*}
                d.h. $S_f(t) = f(t)$, f{\"u}r alle stetigen Punkte $t
                \in \mathbb{R}$
                \item Falls $f(t)$ stetig auf Intervall $I=[a,b]$
                konvergiert $S_f(t)$ gleichm{\"a}ssig azf $I$
                \item An den Unstetigkeitsstellen von $f(t)$ tritt
                das Gibb'sche Ph{\"a}nomen auf (= {\"U}berschwinger)
            \end{itemize}
        \end{itemize}

        \section{Diskrete Fourier-Transformation}
        Geg.: Diskrete periodische Funktion $f(t)$, periodisch mit
        Periode $T$, wobei wir annehmen, dass in ein
        Periodenintervall genau $N$ Werte der Funktion fallen.

        Weitere Annahme: Werte der Funktion an {\"a}quidistanten
        St{\"u}tzstellen, d.h.:
        \begin{gather*}
            \underbrace{f(\overbrace{0}^{t_0})}_{f_{t_0}=y_0}, \underbrace{f(\overbrace{1\cdot \triangle
            t}^{t_1})}_{f_{t_1}=y_1}, \underbrace{f(\overbrace{2\cdot \triangle
            t}^{t_2})}_{f_{t_2}=y_2}, \dots, \underbrace{f(\overbrace{(N-1)\cdot \triangle
            t}^{t_{N-1}})}_{f_{t_{N-1}}=y_{N-1}}, \qquad
            \triangle t = \frac{T}{N}
        \end{gather*}
        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.3]{FRD-1.eps}
        \end{center}
        Diese diskrete periodische Funktion ist durch $N$ Werte
        $(y,y_1,\dots,y_{N-1})$ vollst{\"a}ndig charakterisiert.

        Def.: Gegeben sind $N$ Werte $(y,y_1,\dots,y_{N-1})$ der
        diskreten periodischen Funktion. Dann bezeichnen wir mit
        \begin{gather*}
            \mathbf{c_k := \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}y_j \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N}\cdot k \cdot j}, \qquad k=0,1,\dots N-1}
        \end{gather*}
        als \textbf{Spektralkoeffizienten} (oder
        Fourier-Koeffizienten) von$(y,y_1,\dots,y_{N-1})$

        \begin{gather*}
            c_k := \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}\underbrace{y_j}_{f(t_j) =
            f(j\cdot \triangle t)} \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N}\cdot k \cdot
            j} =
            \frac{1}{N \cdot \triangle t}\sum_{j=0}^{N-1}f(j \cdot \triangle
            t) \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N \cdot \triangle t}\cdot k \cdot
            j \cdot \triangle t} \cdot \triangle t =\\
            \frac{1}{T}\sum_{j=0}^{N-1}f(t_j)  \cdot e^{-\frac{2\pi i}{T}\cdot k
            \triangle t_j} \cdot \triangle t =
            \frac{1}{T}\sum_{j=0}^{N-1}f(t_j)  \cdot e^{-i \cdot \omega \cdot k \cdot
            \triangle t_j} \cdot \triangle t
        \end{gather*}

        Betrachte Fourier-Reihe:
        \begin{gather*}
            \mathbf{c_k = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) \dot e^{-i\cdot \omega \cdot k \cdot t} \operatorname{d}t}
        \end{gather*}

        Notation: $N$ gegeben, $\omega$ erste von $1$-verschiedene
        $N$-te Einheitswurzel. Es gilt: $\omega^N = 1 = e^{2\pi
        i}$:
        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.3]{FRD-2.eps}
        \end{center}

        Fourier-Matrix: $N\times N$-Matrix
        \begin{gather*}
            F_N := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \cdots & \omega^{2(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{2(N-1)} & \cdots & \omega^{{(N-1)}^{2}} \\ \end{pmatrix}
        \end{gather*}

        Satz: Es gilt:
        \begin{gather*}
            F_N \cdot \overline{F_N} = \overline{F_N} \cdot F_N =
            N \cdot E_N
        \end{gather*}
        $E_N$ ist die Einheitsmatrix der Gr{\"o}sse $N\times N$:
        \begin{gather*}
            E_N=\begin{pmatrix}
              1 &  & \mathbf{0} \\
               & \ddots &  \\
              \mathbf{0} &  & 1 \\
            \end{pmatrix}
        \end{gather*}
        $\overline{F_N}$ ist die konjugierte Matrix.

        $\overline{\omega^j} = \frac{1}{\omega^j} = \omega^{-j}$

        Betrachte $\vec{c}$ (Spektralkoeffizienten) und $\vec{y}$:
        \begin{gather*}
            \vec{c} = \begin{pmatrix}
              c_0 \\
              c_1 \\
              \vdots \\
              c_{N-1} \\
            \end{pmatrix}, \qquad
            \vec{y} = \begin{pmatrix}
              y_0 \\
              y_1 \\
              \vdots \\
              y_{N-1} \\
            \end{pmatrix}\\
            c_k=\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot
            \omega^{-k\cdot j} = \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} y_j
            \cdot \overline{\omega^{kj}}, \qquad k=0,\dots,N-1\\
            \mathbf{\vec{c}=\frac{1}{N}\cdot \overline{F_N} \cdot
            \vec{y}}. \qquad N \cdot F_N \cdot \vec{c} = \underbrace{F_N \cdot
            \overline{F_N}}_{N\cdot E_N} \cdot \vec{y} = N \cdot
            E_N \cdot \vec{y} = N \cdot \vec{y}\\
            \Rightarrow \,\, \mathbf{F_N \cdot \vec{c}=\vec{y}}
        \end{gather*}

        Def.: Gegeben $\vec{y} = (y_0,y_1,\dots,y_{N-1})^T$. Dann
        wird durch DFT: $\mathbb{C}^N \rightarrow \mathbb{C}^N.
        \vec{y} \overbrace{\mapsto}^{\text{DFT}}
        \vec{c}=\frac{1}{N}\cdot \overline{F_N} \cdot \vec{y}$ eine
        umkehrbar eindeutige Abbildung beschrieben, die sog. \textbf{Diskrete
        Fourier-Transformation}.

        Die \textbf{Inverse Fourier-Transformation} ist gegeben
        durch: IDFT: $\mathbb{C}^N \rightarrow \mathbb{C}^N.
        \vec{y} \overbrace{\mapsto}^{\text{IDFT}}
        \vec{y} = F_N \cdot \vec{c}$

        $\vec{c} = (c_0,c_1,\dots,c_{N-1})^T$ ist der Vektor der
        Spektralkoeffizienten von $\vec{y}$.\\

        \newpage
        Beispiel: $\vec{y} = (1,0,1,0,1,0,\dots,1,0)^T$,
        Anmerkung: $N=2M$ gerade. Gesucht: $\vec{c} =
        (c_0,c_1,\dots,c_{N-1})^T$:
        \begin{gather*}
            c_k = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot
            \omega^{-kj} = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}
            \underbrace{y_2j}_{=1}\cdot \omega^{-k\cdot 2\cdot j}=
            \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}
            (\omega^{-k\cdot 2})^j\\
            \text{Betrachte } \sum_{j=0}^n q^j = \begin{cases}n +
            1, & q=1\\ \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}, &
            \text{sonst.}\end{cases}\\
            \omega^{-2k}=1, \qquad e^{\frac{2\pi i}{N}(-2k)}=1\\
            \omega^q = 1 \,\, \Leftrightarrow \,\, N|Q
            (\Leftrightarrow q = l\cdot N, \, l \in \mathbb{Z})\\
            \omega^{-2k} = 1 \,\, \Leftrightarrow \,
            \begin{cases}k = 0\\k= \frac{N}{2}\end{cases}\\
            \omega^{-2k} = 1 \, \Rightarrow \, c_k = \frac{1}{N}
            \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}(\omega^{-k\cdot
            2})^j =
            \frac{1}{N}  \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1} 1 =
            \frac{1}{N}\cdot \frac{N}{2} = \frac{1}{2}, \qquad
            \forall k=0,k=\frac{N}{2}\\
            \omega^{-2k} \neq 1 \, \Rightarrow \, c_k = \frac{1}{N}
            \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}(\omega^{-k\cdot
            2})^j = \frac{1}{N} \cdot \frac{(\omega^{-2k})^{\frac{N}{2}}-1}{\underbrace{\omega^{-2k}-1}_{\neq 0 \,\, \surd}}\\
            \text{betrachte: } \omega^{-2k})^{\frac{N}{2}} =
            \omega^{-kN}=e^{\frac{2\pi i}{N}\cdot (-k\cdot N)} =
            e^{-2\pi i k} = 1\\
            = \frac{1}{N} \cdot \frac{1-1}{\omega^{-2k}-1} = 0, k
            \in \{0,\dots,N-1\} \backslash \{0,\frac{N}{2}\}
        \end{gather*}

        \section{Vorgriff (Einschub)}
        Gegeben: Funktion $f(t)$, $f: \mathbb{R} \rightarrow
        \mathbb{R}$. Falls der Cauchy-Hauptwert
        \begin{gather*}
            \mathcal{F}\{f(t)\} := F(\omega) := \text{(CHW)}
            \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{-i \cdot \omega
            \cdot t}\operatorname{d}t
        \end{gather*}
        f{\"u}r alle $\omega \in \mathbb{R}$ existiert, dann hei{\ss}t
        $F(\omega)$ die Fourier-Transformierte oder
        \textbf{Spektralfunktion}von $f(t)$. $f(t)$ liegt im
        Zeitbereich (= Originalbereich), $F(\omega)$ liegt im
        Frequenzebreich (= Bildbereich).

        Definition: Geg. ist eome Funktion $f(t)$. Der
        Cauchy-Hauptwert $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
        \operatorname{d}t$ ist folgendermassen definiert:
        \begin{gather*}
            text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty}
            f(t)\operatorname{d}t= \lim_{N \rightarrow \infty}
            \int_{-N}^N f(t)\operatorname{d}t
        \end{gather*}

        \newpage
        Beispiel: $f(t)=\frac{t}{1+t^2}, \,\, \int_{-N}^N f(t)\operatorname{d}t = 0, \,\, \forall N$:
        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.3]{FRD-3.eps}
        \end{center}
        Anmerkung: Falls f{\"u}r die Funktion $f(t)$ das uneigentliche
        Riemann-Integral
        $\int_{-\infty}^\infty
        f(t)\operatorname{d}t$ existiert, dann existiert auch $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
        \operatorname{d}t$ und es gilt: $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
        \operatorname{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
        \operatorname{d}t$
\end{document}
</nowiki>

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