TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/10.VO LaTeX

 %-------------------------------------------------  % Created by Markus Diem, Markus Nemetz  %------------------------------------------------- \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} %umlaute \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[bf]{caption} \usepackage[pdfborder= 0]{hyperref} %links zu refs ohne rahmen \usepackage{dsfont} %fuer angabe der rationalen zahlen etc. \renewcommand{\captionfont}{\footnotesize} \setlength{\belowcaptionskip}{3pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} %abstand beim brechen der formeln  %**************************************************  % spezifische Makros  %************************************************** \newcommand{\real}{\mathds{R}} \newcommand{\definition} {\textbf{Definition: }} \newcommand{\bsp} {\textbf{Beispiel: }} \title{\textbf{Mathematik III} \linebreak \large{Vorlesung 10, 15.12.2006}} \author{Markus Nemetz\\basierend auf den Aufzeichnungen von Michael Birsak} \date{Dezember 2006} \DeclareGraphicsExtensions{.eps} \setcounter{MaxMatrixCols}{11} \begin{document} \maketitle \section{Vorbemerkung} Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lekt{\"u}re gebracht - sie sind hier nicht angef{\"u}hrt. Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den {\"U}bungsbeispielen, die in ausgearbeiteter Form jeweils nach der {\"U}bungsrunde auf \emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind. \begin{flushright} Markus Nemetz 22.12.2006 \end{flushright} \section{Fourier-Reihen} Geg.: $f(t)$, $T$-periodisch $\rightsquigarrow S_f(t)$ - zusammengesetzt aus $g(t) \rightsquigarrow S_g(t)$,$h(t) \rightsquigarrow S_h(t)$. \begin{itemize} \item \textbf{Eindeutigkeitssatz} Gilt f{\"u}r zwei st{\"u}ckweise stetige Funktionen $g(t)$,$h(t)$ mit Periode $T$ die sog. Mittelwerteigenschaft \begin{gather*} \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}=f(t) \end{gather*} \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{10_FRb.eps} \end{center} Falls nun $S_g(t) = S_h(t)$ so gilt $g(t)=h(t)$- \item \textbf{Darstellungssatz (f{\"u}r gleichm{\"a}ssige Konvergenz von $S_f(t)$)} Geg.: Stetige, $T$-periodische Funktion $f(t)$, deren Fourierreihe $S_f(t)$ gleichm{\"a}ssig auf $[0,T]$ konvergiert. Dann gilt: $S_f(t)=f(t), \forall t \in \mathbb{R}$ \item \textbf{Darstellungssatz (f{\"u}r st{\"u}ckweise differenzierbare Funktionen)} Geg,; $T$-periodische Funktion $f(t)$, st{\"u}ckweise stetig differenzierbar auf $[0,T]$. Dann gilt f{\"u}r die Fourier-Reihe $S_f(t)$: \begin{itemize} \item $S_f(t)$ konvergiert punktweise f{\"u}r alle $t \in \mathbb{R}$ \item \begin{gather*} \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}=f(t), \forall t \in \mathbb{R} \end{gather*} d.h. $S_f(t) = f(t)$, f{\"u}r alle stetigen Punkte $t \in \mathbb{R}$ \item Falls $f(t)$ stetig auf Intervall $I=[a,b]$ konvergiert $S_f(t)$ gleichm{\"a}ssig azf $I$ \item An den Unstetigkeitsstellen von $f(t)$ tritt das Gibb'sche Ph{\"a}nomen auf (= {\"U}berschwinger) \end{itemize} \end{itemize} \section{Diskrete Fourier-Transformation} Geg.: Diskrete periodische Funktion $f(t)$, periodisch mit Periode $T$, wobei wir annehmen, dass in ein Periodenintervall genau $N$ Werte der Funktion fallen. Weitere Annahme: Werte der Funktion an {\"a}quidistanten St{\"u}tzstellen, d.h.: \begin{gather*} \underbrace{f(\overbrace{0}^{t_0})}_{f_{t_0}=y_0}, \underbrace{f(\overbrace{1\cdot \triangle t}^{t_1})}_{f_{t_1}=y_1}, \underbrace{f(\overbrace{2\cdot \triangle t}^{t_2})}_{f_{t_2}=y_2}, \dots, \underbrace{f(\overbrace{(N-1)\cdot \triangle t}^{t_{N-1}})}_{f_{t_{N-1}}=y_{N-1}}, \qquad \triangle t = \frac{T}{N} \end{gather*} \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{FRD-1.eps} \end{center} Diese diskrete periodische Funktion ist durch $N$ Werte $(y,y_1,\dots,y_{N-1})$ vollst{\"a}ndig charakterisiert. Def.: Gegeben sind $N$ Werte $(y,y_1,\dots,y_{N-1})$ der diskreten periodischen Funktion. Dann bezeichnen wir mit \begin{gather*} \mathbf{c_k := \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}y_j \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N}\cdot k \cdot j}, \qquad k=0,1,\dots N-1} \end{gather*} als \textbf{Spektralkoeffizienten} (oder Fourier-Koeffizienten) von$(y,y_1,\dots,y_{N-1})$ \begin{gather*} c_k := \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}\underbrace{y_j}_{f(t_j) = f(j\cdot \triangle t)} \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N}\cdot k \cdot j} = \frac{1}{N \cdot \triangle t}\sum_{j=0}^{N-1}f(j \cdot \triangle t) \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N \cdot \triangle t}\cdot k \cdot j \cdot \triangle t} \cdot \triangle t =\\ \frac{1}{T}\sum_{j=0}^{N-1}f(t_j) \cdot e^{-\frac{2\pi i}{T}\cdot k \triangle t_j} \cdot \triangle t = \frac{1}{T}\sum_{j=0}^{N-1}f(t_j) \cdot e^{-i \cdot \omega \cdot k \cdot \triangle t_j} \cdot \triangle t \end{gather*} Betrachte Fourier-Reihe: \begin{gather*} \mathbf{c_k = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) \dot e^{-i\cdot \omega \cdot k \cdot t} \operatorname{d}t} \end{gather*} Notation: $N$ gegeben, $\omega$ erste von $1$-verschiedene $N$-te Einheitswurzel. Es gilt: $\omega^N = 1 = e^{2\pi i}$: \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{FRD-2.eps} \end{center} Fourier-Matrix: $N\times N$-Matrix \begin{gather*} F_N := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \cdots & \omega^{2(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{2(N-1)} & \cdots & \omega^{{(N-1)}^{2}} \\ \end{pmatrix} \end{gather*} Satz: Es gilt: \begin{gather*} F_N \cdot \overline{F_N} = \overline{F_N} \cdot F_N = N \cdot E_N \end{gather*} $E_N$ ist die Einheitsmatrix der Gr{\"o}sse $N\times N$: \begin{gather*} E_N=\begin{pmatrix} 1 & & \mathbf{0} \\ & \ddots & \\ \mathbf{0} & & 1 \\ \end{pmatrix} \end{gather*} $\overline{F_N}$ ist die konjugierte Matrix. $\overline{\omega^j} = \frac{1}{\omega^j} = \omega^{-j}$ Betrachte $\vec{c}$ (Spektralkoeffizienten) und $\vec{y}$: \begin{gather*} \vec{c} = \begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{N-1} \\ \end{pmatrix}, \qquad \vec{y} = \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_{N-1} \\ \end{pmatrix}\\ c_k=\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot \omega^{-k\cdot j} = \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot \overline{\omega^{kj}}, \qquad k=0,\dots,N-1\\ \mathbf{\vec{c}=\frac{1}{N}\cdot \overline{F_N} \cdot \vec{y}}. \qquad N \cdot F_N \cdot \vec{c} = \underbrace{F_N \cdot \overline{F_N}}_{N\cdot E_N} \cdot \vec{y} = N \cdot E_N \cdot \vec{y} = N \cdot \vec{y}\\ \Rightarrow \,\, \mathbf{F_N \cdot \vec{c}=\vec{y}} \end{gather*} Def.: Gegeben $\vec{y} = (y_0,y_1,\dots,y_{N-1})^T$. Dann wird durch DFT: $\mathbb{C}^N \rightarrow \mathbb{C}^N. \vec{y} \overbrace{\mapsto}^{\text{DFT}} \vec{c}=\frac{1}{N}\cdot \overline{F_N} \cdot \vec{y}$ eine umkehrbar eindeutige Abbildung beschrieben, die sog. \textbf{Diskrete Fourier-Transformation}. Die \textbf{Inverse Fourier-Transformation} ist gegeben durch: IDFT: $\mathbb{C}^N \rightarrow \mathbb{C}^N. \vec{y} \overbrace{\mapsto}^{\text{IDFT}} \vec{y} = F_N \cdot \vec{c}$ $\vec{c} = (c_0,c_1,\dots,c_{N-1})^T$ ist der Vektor der Spektralkoeffizienten von $\vec{y}$.\\ \newpage Beispiel: $\vec{y} = (1,0,1,0,1,0,\dots,1,0)^T$, Anmerkung: $N=2M$ gerade. Gesucht: $\vec{c} = (c_0,c_1,\dots,c_{N-1})^T$: \begin{gather*} c_k = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot \omega^{-kj} = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1} \underbrace{y_2j}_{=1}\cdot \omega^{-k\cdot 2\cdot j}= \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1} (\omega^{-k\cdot 2})^j\\ \text{Betrachte } \sum_{j=0}^n q^j = \begin{cases}n + 1, & q=1\\ \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}, & \text{sonst.}\end{cases}\\ \omega^{-2k}=1, \qquad e^{\frac{2\pi i}{N}(-2k)}=1\\ \omega^q = 1 \,\, \Leftrightarrow \,\, N|Q (\Leftrightarrow q = l\cdot N, \, l \in \mathbb{Z})\\ \omega^{-2k} = 1 \,\, \Leftrightarrow \, \begin{cases}k = 0\\k= \frac{N}{2}\end{cases}\\ \omega^{-2k} = 1 \, \Rightarrow \, c_k = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}(\omega^{-k\cdot 2})^j = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1} 1 = \frac{1}{N}\cdot \frac{N}{2} = \frac{1}{2}, \qquad \forall k=0,k=\frac{N}{2}\\ \omega^{-2k} \neq 1 \, \Rightarrow \, c_k = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}(\omega^{-k\cdot 2})^j = \frac{1}{N} \cdot \frac{(\omega^{-2k})^{\frac{N}{2}}-1}{\underbrace{\omega^{-2k}-1}_{\neq 0 \,\, \surd}}\\ \text{betrachte: } \omega^{-2k})^{\frac{N}{2}} = \omega^{-kN}=e^{\frac{2\pi i}{N}\cdot (-k\cdot N)} = e^{-2\pi i k} = 1\\ = \frac{1}{N} \cdot \frac{1-1}{\omega^{-2k}-1} = 0, k \in \{0,\dots,N-1\} \backslash \{0,\frac{N}{2}\} \end{gather*} \section{Vorgriff (Einschub)} Gegeben: Funktion $f(t)$, $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Falls der Cauchy-Hauptwert \begin{gather*} \mathcal{F}\{f(t)\} := F(\omega) := \text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{-i \cdot \omega \cdot t}\operatorname{d}t \end{gather*} f{\"u}r alle $\omega \in \mathbb{R}$ existiert, dann hei{\ss}t $F(\omega)$ die Fourier-Transformierte oder \textbf{Spektralfunktion}von $f(t)$. $f(t)$ liegt im Zeitbereich (= Originalbereich), $F(\omega)$ liegt im Frequenzebreich (= Bildbereich). Definition: Geg. ist eome Funktion $f(t)$. Der Cauchy-Hauptwert $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \operatorname{d}t$ ist folgendermassen definiert: \begin{gather*} text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\operatorname{d}t= \lim_{N \rightarrow \infty} \int_{-N}^N f(t)\operatorname{d}t \end{gather*} \newpage Beispiel: $f(t)=\frac{t}{1+t^2}, \,\, \int_{-N}^N f(t)\operatorname{d}t = 0, \,\, \forall N$: \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{FRD-3.eps} \end{center} Anmerkung: Falls f{\"u}r die Funktion $f(t)$ das uneigentliche Riemann-Integral $\int_{-\infty}^\infty f(t)\operatorname{d}t$ existiert, dann existiert auch $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \operatorname{d}t$ und es gilt: $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \operatorname{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \operatorname{d}t$ \end{document}