TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/10.VO LaTeX
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<nowiki> %-------------------------------------------------
% Created by Markus Diem, Markus Nemetz
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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\usepackage[pdfborder= 0]{hyperref} %links zu refs ohne rahmen
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%fuer angabe der rationalen zahlen etc.
\renewcommand{\captionfont}{\footnotesize}
\setlength{\belowcaptionskip}{3pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3} %abstand beim brechen der formeln
%**************************************************
% spezifische Makros
%**************************************************
\newcommand{\real}{\mathds{R}}
\newcommand{\definition} {\textbf{Definition: }}
\newcommand{\bsp} {\textbf{Beispiel: }}
\title{\textbf{Mathematik III} \linebreak
\large{Vorlesung 10, 15.12.2006}}
\author{Markus Nemetz\\basierend auf den Aufzeichnungen von Michael Birsak}
\date{Dezember 2006}
\DeclareGraphicsExtensions{.eps}
\setcounter{MaxMatrixCols}{11}
\begin{document}
\maketitle
\section{Vorbemerkung}
Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO
empfohlenen Lekt{\"u}re gebracht - sie sind hier nicht angef{\"u}hrt.
Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die
jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den {\"U}bungsbeispielen, die
in ausgearbeiteter Form jeweils nach der {\"U}bungsrunde auf
\emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind.
\begin{flushright}
Markus Nemetz
22.12.2006
\end{flushright}
\section{Fourier-Reihen}
Geg.: $f(t)$, $T$-periodisch $\rightsquigarrow S_f(t)$ -
zusammengesetzt aus $g(t) \rightsquigarrow S_g(t)$,$h(t) \rightsquigarrow
S_h(t)$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Eindeutigkeitssatz}
Gilt f{\"u}r zwei st{\"u}ckweise stetige Funktionen
$g(t)$,$h(t)$ mit Periode $T$ die sog.
Mittelwerteigenschaft
\begin{gather*}
\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}=f(t)
\end{gather*}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{10_FRb.eps}
\end{center}
Falls nun $S_g(t) = S_h(t)$ so gilt $g(t)=h(t)$-
\item \textbf{Darstellungssatz (f{\"u}r gleichm{\"a}ssige
Konvergenz von $S_f(t)$)}
Geg.: Stetige, $T$-periodische Funktion $f(t)$, deren
Fourierreihe $S_f(t)$ gleichm{\"a}ssig auf $[0,T]$
konvergiert.
Dann gilt: $S_f(t)=f(t), \forall t \in \mathbb{R}$
\item \textbf{Darstellungssatz (f{\"u}r st{\"u}ckweise
differenzierbare Funktionen)}
Geg,; $T$-periodische Funktion $f(t)$, st{\"u}ckweise
stetig differenzierbar auf $[0,T]$. Dann gilt f{\"u}r die
Fourier-Reihe $S_f(t)$:
\begin{itemize}
\item $S_f(t)$ konvergiert punktweise f{\"u}r alle $t
\in \mathbb{R}$
\item
\begin{gather*}
\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}=f(t), \forall t \in \mathbb{R}
\end{gather*}
d.h. $S_f(t) = f(t)$, f{\"u}r alle stetigen Punkte $t
\in \mathbb{R}$
\item Falls $f(t)$ stetig auf Intervall $I=[a,b]$
konvergiert $S_f(t)$ gleichm{\"a}ssig azf $I$
\item An den Unstetigkeitsstellen von $f(t)$ tritt
das Gibb'sche Ph{\"a}nomen auf (= {\"U}berschwinger)
\end{itemize}
\end{itemize}
\section{Diskrete Fourier-Transformation}
Geg.: Diskrete periodische Funktion $f(t)$, periodisch mit
Periode $T$, wobei wir annehmen, dass in ein
Periodenintervall genau $N$ Werte der Funktion fallen.
Weitere Annahme: Werte der Funktion an {\"a}quidistanten
St{\"u}tzstellen, d.h.:
\begin{gather*}
\underbrace{f(\overbrace{0}^{t_0})}_{f_{t_0}=y_0}, \underbrace{f(\overbrace{1\cdot \triangle
t}^{t_1})}_{f_{t_1}=y_1}, \underbrace{f(\overbrace{2\cdot \triangle
t}^{t_2})}_{f_{t_2}=y_2}, \dots, \underbrace{f(\overbrace{(N-1)\cdot \triangle
t}^{t_{N-1}})}_{f_{t_{N-1}}=y_{N-1}}, \qquad
\triangle t = \frac{T}{N}
\end{gather*}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{FRD-1.eps}
\end{center}
Diese diskrete periodische Funktion ist durch $N$ Werte
$(y,y_1,\dots,y_{N-1})$ vollst{\"a}ndig charakterisiert.
Def.: Gegeben sind $N$ Werte $(y,y_1,\dots,y_{N-1})$ der
diskreten periodischen Funktion. Dann bezeichnen wir mit
\begin{gather*}
\mathbf{c_k := \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}y_j \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N}\cdot k \cdot j}, \qquad k=0,1,\dots N-1}
\end{gather*}
als \textbf{Spektralkoeffizienten} (oder
Fourier-Koeffizienten) von$(y,y_1,\dots,y_{N-1})$
\begin{gather*}
c_k := \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}\underbrace{y_j}_{f(t_j) =
f(j\cdot \triangle t)} \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N}\cdot k \cdot
j} =
\frac{1}{N \cdot \triangle t}\sum_{j=0}^{N-1}f(j \cdot \triangle
t) \cdot e^{-\frac{2\pi i}{N \cdot \triangle t}\cdot k \cdot
j \cdot \triangle t} \cdot \triangle t =\\
\frac{1}{T}\sum_{j=0}^{N-1}f(t_j) \cdot e^{-\frac{2\pi i}{T}\cdot k
\triangle t_j} \cdot \triangle t =
\frac{1}{T}\sum_{j=0}^{N-1}f(t_j) \cdot e^{-i \cdot \omega \cdot k \cdot
\triangle t_j} \cdot \triangle t
\end{gather*}
Betrachte Fourier-Reihe:
\begin{gather*}
\mathbf{c_k = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) \dot e^{-i\cdot \omega \cdot k \cdot t} \operatorname{d}t}
\end{gather*}
Notation: $N$ gegeben, $\omega$ erste von $1$-verschiedene
$N$-te Einheitswurzel. Es gilt: $\omega^N = 1 = e^{2\pi
i}$:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{FRD-2.eps}
\end{center}
Fourier-Matrix: $N\times N$-Matrix
\begin{gather*}
F_N := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \cdots & \omega^{2(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{2(N-1)} & \cdots & \omega^{{(N-1)}^{2}} \\ \end{pmatrix}
\end{gather*}
Satz: Es gilt:
\begin{gather*}
F_N \cdot \overline{F_N} = \overline{F_N} \cdot F_N =
N \cdot E_N
\end{gather*}
$E_N$ ist die Einheitsmatrix der Gr{\"o}sse $N\times N$:
\begin{gather*}
E_N=\begin{pmatrix}
1 & & \mathbf{0} \\
& \ddots & \\
\mathbf{0} & & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{gather*}
$\overline{F_N}$ ist die konjugierte Matrix.
$\overline{\omega^j} = \frac{1}{\omega^j} = \omega^{-j}$
Betrachte $\vec{c}$ (Spektralkoeffizienten) und $\vec{y}$:
\begin{gather*}
\vec{c} = \begin{pmatrix}
c_0 \\
c_1 \\
\vdots \\
c_{N-1} \\
\end{pmatrix}, \qquad
\vec{y} = \begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
\vdots \\
y_{N-1} \\
\end{pmatrix}\\
c_k=\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot
\omega^{-k\cdot j} = \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} y_j
\cdot \overline{\omega^{kj}}, \qquad k=0,\dots,N-1\\
\mathbf{\vec{c}=\frac{1}{N}\cdot \overline{F_N} \cdot
\vec{y}}. \qquad N \cdot F_N \cdot \vec{c} = \underbrace{F_N \cdot
\overline{F_N}}_{N\cdot E_N} \cdot \vec{y} = N \cdot
E_N \cdot \vec{y} = N \cdot \vec{y}\\
\Rightarrow \,\, \mathbf{F_N \cdot \vec{c}=\vec{y}}
\end{gather*}
Def.: Gegeben $\vec{y} = (y_0,y_1,\dots,y_{N-1})^T$. Dann
wird durch DFT: $\mathbb{C}^N \rightarrow \mathbb{C}^N.
\vec{y} \overbrace{\mapsto}^{\text{DFT}}
\vec{c}=\frac{1}{N}\cdot \overline{F_N} \cdot \vec{y}$ eine
umkehrbar eindeutige Abbildung beschrieben, die sog. \textbf{Diskrete
Fourier-Transformation}.
Die \textbf{Inverse Fourier-Transformation} ist gegeben
durch: IDFT: $\mathbb{C}^N \rightarrow \mathbb{C}^N.
\vec{y} \overbrace{\mapsto}^{\text{IDFT}}
\vec{y} = F_N \cdot \vec{c}$
$\vec{c} = (c_0,c_1,\dots,c_{N-1})^T$ ist der Vektor der
Spektralkoeffizienten von $\vec{y}$.\\
\newpage
Beispiel: $\vec{y} = (1,0,1,0,1,0,\dots,1,0)^T$,
Anmerkung: $N=2M$ gerade. Gesucht: $\vec{c} =
(c_0,c_1,\dots,c_{N-1})^T$:
\begin{gather*}
c_k = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot
\omega^{-kj} = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}
\underbrace{y_2j}_{=1}\cdot \omega^{-k\cdot 2\cdot j}=
\frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}
(\omega^{-k\cdot 2})^j\\
\text{Betrachte } \sum_{j=0}^n q^j = \begin{cases}n +
1, & q=1\\ \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}, &
\text{sonst.}\end{cases}\\
\omega^{-2k}=1, \qquad e^{\frac{2\pi i}{N}(-2k)}=1\\
\omega^q = 1 \,\, \Leftrightarrow \,\, N|Q
(\Leftrightarrow q = l\cdot N, \, l \in \mathbb{Z})\\
\omega^{-2k} = 1 \,\, \Leftrightarrow \,
\begin{cases}k = 0\\k= \frac{N}{2}\end{cases}\\
\omega^{-2k} = 1 \, \Rightarrow \, c_k = \frac{1}{N}
\sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}(\omega^{-k\cdot
2})^j =
\frac{1}{N} \sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1} 1 =
\frac{1}{N}\cdot \frac{N}{2} = \frac{1}{2}, \qquad
\forall k=0,k=\frac{N}{2}\\
\omega^{-2k} \neq 1 \, \Rightarrow \, c_k = \frac{1}{N}
\sum_{j=0}^{\frac{N}{2}-1}(\omega^{-k\cdot
2})^j = \frac{1}{N} \cdot \frac{(\omega^{-2k})^{\frac{N}{2}}-1}{\underbrace{\omega^{-2k}-1}_{\neq 0 \,\, \surd}}\\
\text{betrachte: } \omega^{-2k})^{\frac{N}{2}} =
\omega^{-kN}=e^{\frac{2\pi i}{N}\cdot (-k\cdot N)} =
e^{-2\pi i k} = 1\\
= \frac{1}{N} \cdot \frac{1-1}{\omega^{-2k}-1} = 0, k
\in \{0,\dots,N-1\} \backslash \{0,\frac{N}{2}\}
\end{gather*}
\section{Vorgriff (Einschub)}
Gegeben: Funktion $f(t)$, $f: \mathbb{R} \rightarrow
\mathbb{R}$. Falls der Cauchy-Hauptwert
\begin{gather*}
\mathcal{F}\{f(t)\} := F(\omega) := \text{(CHW)}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{-i \cdot \omega
\cdot t}\operatorname{d}t
\end{gather*}
f{\"u}r alle $\omega \in \mathbb{R}$ existiert, dann hei{\ss}t
$F(\omega)$ die Fourier-Transformierte oder
\textbf{Spektralfunktion}von $f(t)$. $f(t)$ liegt im
Zeitbereich (= Originalbereich), $F(\omega)$ liegt im
Frequenzebreich (= Bildbereich).
Definition: Geg. ist eome Funktion $f(t)$. Der
Cauchy-Hauptwert $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
\operatorname{d}t$ ist folgendermassen definiert:
\begin{gather*}
text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty}
f(t)\operatorname{d}t= \lim_{N \rightarrow \infty}
\int_{-N}^N f(t)\operatorname{d}t
\end{gather*}
\newpage
Beispiel: $f(t)=\frac{t}{1+t^2}, \,\, \int_{-N}^N f(t)\operatorname{d}t = 0, \,\, \forall N$:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{FRD-3.eps}
\end{center}
Anmerkung: Falls f{\"u}r die Funktion $f(t)$ das uneigentliche
Riemann-Integral
$\int_{-\infty}^\infty
f(t)\operatorname{d}t$ existiert, dann existiert auch $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
\operatorname{d}t$ und es gilt: $\text{(CHW)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
\operatorname{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)
\operatorname{d}t$
\end{document}
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