TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/12.VO LaTeX

 %-------------------------------------------------  % Created by Markus Diem, Markus Nemetz  %------------------------------------------------- \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} %umlaute \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[bf]{caption} \usepackage[pdfborder= 0]{hyperref} %links zu refs ohne rahmen \usepackage{dsfont} \usepackage{listings} %codelistings \usepackage{color} %fuer angabe der rationalen zahlen etc. \renewcommand{\captionfont}{\footnotesize} \setlength{\belowcaptionskip}{3pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} %abstand beim brechen der formeln \definecolor{Gray}{gray}{0.9} \lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize, backgroundcolor=\color{Gray}, numbers=left, numberstyle=\tiny, stepnumber=1, numbersep=5pt}  %**************************************************  % spezifische Makros  %************************************************** \newcommand{\real}{\mathds{R}} \newcommand{\definition} {\textbf{Definition: }} \newcommand{\bsp} {\textbf{Beispiel: }} \title{\textbf{Mathematik III} \linebreak \large{Vorlesung 12, 19.01.2007 (letzte VO)}} \author{Markus Nemetz} \date{J{\"a}nner 2007} \DeclareGraphicsExtensions{.eps} \setcounter{MaxMatrixCols}{11} \begin{document} \maketitle \section{Vorbemerkung} Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lekt{\"u}re gebracht - sie sind hier nicht angef{\"u}hrt. Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den {\"U}bungsbeispielen, die in ausgearbeiteter Form jeweils nach der {\"U}bungsrunde auf \emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind. \begin{flushright} Markus Nemetz 29.01.2007 \end{flushright} \section{Umkehr- und Eindeutigkeitssatz} Gilz f{\"u}r eine Funktion $f(t)$ \begin{itemize} \item $f(t)$ ist absolut integrierbar \item $f(t$ ist auf endlichen Intervallen st{\"u}ckweise stetig differenzierbar \item $f(t)$ ist Mittelwerteigenschaft $f(t)=\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$ \end{itemize} \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{mittelwerteigenschaft.eps} \end{center} Dann gilt, dass neben $f(t)$ auch $F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\}$ $\mathcal{F}$-transformierbar ist, und es gilt: \begin{gather*} f(t)=\mathcal{F}^{-1} \{F(\omega)\} = \frac{1}{2\pi}\mathcal{F}\{F(-\omega)\}=\frac{1}{2\pi} \text{(CHW)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} \cdot F(\omega) \operatorname{d}\omega \end{gather*} \section{Rechenregeln für die $\mathcal{F}$-Transformation} $f(t)$, $g(t)$ seien absolut integrierbare Funktionen; $F(\omega)$, $G(\omega)$ entsprechende Spektralfunktionen: \begin{itemize} \item Linearität: \begin{gather*} \mathcal{F}\{\alpha f(t) + \beta g(t)\}= \alpha\mathcal{F}\{f(t)\} + \beta\mathcal{F}\{g(t)\}= alpha F(\omega) + \beta G(\omega) \end{gather*} \item Streckung: \begin{gather*} \mathcal{F}\{f(c\cdot t)\} = \frac{1}{|c|}F(\frac{\omega}{c}), \qquad c\neq 0 \end{gather*} \item Verschiebung im Zeitbereich: \begin{gather*} \mathcal{F}\{f(t-a)\} = e^{-ia\omega}F(\omega), \qquad a \in \mathbb{R} \end{gather*} \item Verschiebung im Frequenzbereich: \begin{gather*} \mathcal{F}\{e^{i\Omega t}f(t)\} = F(\omega \Omega), \qquad \Omega \in \mathbb{R} \end{gather*} \item Differentiation im Zeitbereich: \begin{gather*} \mathcal{F}\{f'(t)\}=i\omega F(\omega)\\ \text{Voraussetzung; } f(t) \text{ stetig,} f'(t) \mathcal{F}\text{-transformierbar} \end{gather*} \item Differentiation im Frequenzbereich: \begin{gather*} \mathcal{F}\{t \cdot f(t)\} = i \cdot F'(\omega)\\ \text{Voraussetzung; } \,\, t \cdot f(t) \, \text{ ist } \, \mathcal{F}\text{-transformierbar} \end{gather*} \item Faltungsprodukt $f(t) \, \ast \, g(t)$ \begin{gather*} (f \, \ast \, g)(t) := \int_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot g(t-\tau) \operatorname{d}\tau \end{gather*} \item Faltung: \begin{gather*} \mathcal{F\{f \ast g\}}=F(\omega)\cdot G(\omega) \end{gather*} \item Konjugation: \begin{gather*} \mathcal{F}\{\overline{f(t)}\} = \mathcal{F}(-\omega) \end{gather*} \item Symmetrien: \begin{gather*} f(t) = f(-t) \qquad \Leftrightarrow \qquad F(\omega)=F(-\omega)\\ f(t) = -f(-t) \qquad \Leftrightarrow \qquad -F(\omega)=F(-\omega) \end{gather*} \end{itemize} \section{Anwendung der $\mathcal{F}$-Transformation} \subsection{Hilfsmittel zum Lösen von DGL} Anmerkung: i.A: ist $\mathcal{L}$-Transformation vorzuziehen. Ein Beispiel von Bedeutung: Lösen bestimmter PDGen, z.B. Wärmeleitungsgleichungen. \subsection{Lösen von Integralgleichungen} Die im Gegensatz zur $\mathcal{L}$-Transformation anmdere Form des Faltungsproduktes ermöglicht die Lösung von Integralen vom Fredholm-Typ: \begin{gather*} \int_{-\infty}^\infty k(t-\tau)x(\tau)\operatorname{d}\tau - \lambda x(t) = f(t), \qquad t \in \mathbb{R} \end{gather*} Wenn alle Funktionen absolut integrierbar sind, lautet die Gleichung für die zugehörigen Spektralfunktionen: \begin{gather*} K(\omega)X(\omega) - \lambda X(\omega) = F(\omega) \end{gather*} Wenn $x(t)$ dem Umkehr und Eindeutigkeitssatz genügt, erhält man die Lösung $X(\omega)$ dieser Gleichung mit der inversen $\mathcal{F}$-Transformation als Lösung der Integralgleichung \begin{gather*} x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{F(\omega)}{K(\omega)-\lambda}e^{i\omega t} \operatorname{d}\omega \end{gather*} \subsection{Nachrichtentechnik} Betrachten idealen 'Tiefpassfilter': \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{ntr.eps} \end{center} Wirkung eines Filters: Für eine periodisches Eingangssignal wird nur die Amplitude des Signals verändert, aber die Frequenz unverändert gelassen. Idealer Tiefpassfilter: Alle Frequenzen $|\omega|>\Omega$ werden gesperrt, aber alle Frequenzen $|\omega| \leq \Omega$ werden unverändert durchgelassen, Betrachten Spektralbereich: \begin{gather*} F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}, \, G(\omega)=\mathcal{F}\{g(t)\} \end{gather*} Wirkung: $G(\omega) = H(\omega) \cdot F(\omega)$. Dabei ist $H(\omega)$ die Übertragungsfunktion für den idealen Tiefpassfilter; \begin{gather*} H(\omega) := \begin{cases}1, &|\omega| \leq \Omega\\0, & |\omega|>\Omega\end{cases} \end{gather*} Betrachte $h(t)=\mathcal{F}^{-1}\{H(\omega)\}$. Im Zeitbereich liefert dies: \begin{gather*} g(t) = g(t) \, \ast \, f(t)\\ h(t)=\mathcal{F}^{-1}\{H(\omega)\} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t} \cdot H(\omega) \operatorname{d}\omega = \\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega 1 e^{i\omega t} \operatorname{d}\omega=\frac{1}{2\pi} \frac{e^{i\omega t}}{it}|_{-\Omega}^\Omega=\\ \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{e^{i\Omega t}-e^{-i\Omega t}}{it}=\frac{1}{2\pi i t}(i(\sin (\Omega t)+ \sin (\Omega t))=\\ \frac{\sin (\Omega t)}{\pi t} = \frac{\Omega}{\pi} \cdot \frac{\sin (\Omega t)}{\Omega t} =\\ \frac{\Omega}{\pi} \cdot \sin (\Omega t) \end{gather*} $\sin (\Omega t)$ ist die Spaltfunktion. Daraus folgt weiter: \begin{gather*} g(t) = \frac{\Omega}{\pi} \cdot \sin (\Omega t) \ast f(t) \end{gather*} \section{Partielle Differentialgleichungen (PDG)} Eine Gleichung der Form \begin{gather*} F(x_1, \dots, x_n, u, u_{x_1}, \dots, u_{x_n}, u_x, \dots, \frac{\operatorname{d}^m}{\operatorname{d}x_{1}^{m1}x_{1}^{m2}\dots x_{1}^{mm}}u = 0 \end{gather*} in der neben der unbekannten Funktion $u(x_1,\dots,x_n)$ auch partielle Ableitungen vorkommen heißt PDG. Ordnung der PDG; Die größte $m := m_1 + \dots + m_n$ heißt Ordnung der PDG, Definition: EIne Funktion $u: G \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ heißt Lösung der DGL, wenn die $m$-ten Ableitungen von $n$ existieren und $u$ auf $G$ die obige DGL erfüllt. Anmerkung: Die Lösungen $u(x,y)$ einer PDG in 2 Variablen sind Flächen in $\mathbb{R}^3$. (Lösungsflächen, Integralflächen). \newpage \subsection{PDGen, die sich wie gewöhnliche DGLen behandeln lassen} Einzige Schwierigkeit; Die Integrationskonstanten hängen i.A. von allen übrigen Variablen ab. Beispiel; Gegeben $u(x,y)$: \begin{itemize} \item $u_{xx}=0 \, \Rightarrow \, u_x = c(y)$. Daraus folgt weiter nach $\int \operatorname{d}x$: $c(y)x + \operatorname{d}y$. Dabei ist $\operatorname{d}y$ eine beliebige, differenzierbare Funktion. \item $u_{xy}=0$. Daraus folgt weiter nach $\int \operatorname{d}y$: $u_{x}=\breve{c}(x)$. Daraus folgt weiter nach $\int \operatorname{d}x$: $c(x) + \operatorname{d}y$. Dabei ist $\breve{c}(x)$ eine beliebige Funktion. \end{itemize} \subsection{Lineare PDH 1. Ordnung mit Konstanten Koeffizienten} $2$ Variablen, $a, b \in \mathbb{R}$: \begin{gather*} au_x + bu_y = f(x,y) \end{gather*} Idee: geeignete Variablensubstitution, so dass gewöhnliche DGL entsteht: \begin{gather*} \xi = bx + ay, \qquad \eta = bx - ay\\ x = \frac{\xi + \eta}{2b}, \qquad y = \frac{\xi - \eta}{2a}\\ (x,y) \mapsto (\xi, eta), \qquad U(\xi,\eta)=u(\frac{\xi + \eta}{2b}, \frac{\xi - \eta}{2a})=u(x,y)\\ \neq F(\xi, \eta) f(\frac{\xi + \eta}{2b}, \frac{\xi - \eta}{2a})=f(x,y) \end{gather*} Nach Anwendung der Kettenregel ergibt sich: \begin{gather*} F(\xi, \eta) = au_x + bu_y = a(U_\xi \xi_x + U_\eta \eta_x) + b(U_\xi + \xi_y + U_\eta \eta_y)=\\ a(U_\xi b + U_\eta b) + b(U_\xi a + U_\eta (-a)) = abU_\xi + abU_\eta + abU_\xi - abU_\eta = 2abU_\xi\\ \Rightarrow U_\xi = \frac{1}{2ab} \cdot F(\xi, \eta)\\ \Rightarrow U(\xi, \eta)=\frac{1}{2ab}\int F(\xi, \eta)\operatorname{d}\xi + G(\eta)\\ \Rightarrow u(x,y)= \frac{1}{2ab}\int F(\xi, bx-ay) \operatorname{d}\xi+ G(\eta)\\ \Rightarrow u(x,y)= \frac{1}{2ab}\int_{bx_0+ax_0}^{bx+ay} F(\xi, bx-ay) \operatorname{d}\xi+ G(\eta) \end{gather*} Beispiel: \begin{gather*} 2u_x + 3u_y = e^{x+y} \\ \xi = 3x + 2y, \qquad \eta = 3x-2y, \qquad x = \frac{\xi + \eta}{2}, \qquad y = \frac{\xi - \eta}{2}\\ U_\xi= \frac{1}{12} F(\xi, \eta) = \frac{1}{12}e^{\frac{4 + \eta}{6} + \frac{\xi - \eta}{6}}= \frac{1}{12} e^{\frac{5}{12}\xi - \frac{1}{12}\eta}\\ \Rightarrow U(\xi, \eta) = \frac{1}{12} \int e^{\frac{5}{12}\xi - \frac{1}{12}\eta} \operatorname{d}\xi + G(\eta)=\frac{1}{12}e^{-\frac{1}{12}\eta} \int e^{\frac{5}{12}\xi}\operatorname{d}\xi + G(\eta) =\\ \frac{1}{12}e^{-\frac{1}{12}\eta} \frac{e^{\frac{5}{12}\xi}}{\frac{5}{12}}+ G(\eta) = \frac{1}{5}e^{\frac{5}{12}\xi - \frac{1}{12}\eta} + G(\eta) =\\ \frac{1}{5}e^{x+y} + G(3x-2y) \end{gather*} $G$ ist eine beliebig differenzierbare Funktion. \subsection{Eindimensionale Schwingungsgleichung (Wellengleichung)} \begin{gather*} u_{tt} = c^2u_{xx} = f(x,t) \end{gather*} $u_{tt}$ ist Auslenkung (Elongation) der Saite zum Zeitpunkt $t$ an der Stelle $x$. $c^2$ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit. $f(x,t)$ bezeichnet den Einfluss der äusseren Kräfte.\\ Geeignete Substitution: $\xi = x - ct$, $\tau=x + ct$. Daraus folgt weiter: $x = \frac{\xi + \tau}{2}$, $t = \frac{\xi - \tau}{2}$: \begin{gather*} U(\xi,\tau)=u(\frac{\xi + \tau}{2}, \frac{\xi - \tau}{2})=u(x,t)\\ F(\xi,\tau)=f(x,t)\\ U_t = U_\xi \cdot \xi_t + U_\tau \cdot \tau_t= U_\xi(-x) + U_\tau c = -cU_\xi + cU_\tau\\ u_{tt}=(-cU_\xi + cU_\tau) = - c(U_{\xi\xi}\xi_t + U_{\tau\xi}\tau_t)+c(c(U_{\tau\xi}\xi_t + U_{\tau\tau}\tau_t))=\\ -c(U_{\xi\xi}(-c) + U_{\tau\xi}c) + (U_{\tau\xi}(-c) + U_{\tau\tau}c)= c^2(U_{\xi\xi} - 2U_{\tau\xi}+U_{\tau\tau})\\ U_x = U_\xi\xi_x + U_\tau\tau_x = U_\xi + U_\tau\\ U_{xx}= U_{\xi\xi}\xi_x + U_{\tau\tau}\tau_x + U_{\tau\xi}\xi_x + U_{\tau\tau}\tau_x=U_{\xi\xi} + 2U_{\tau\xi}+U_{\tau\tau}\\ F(\xi,\eta) = u_{tt} - c^2u_{xx} = c^2(U_{\xi\xi} - 2U_{\xi\tau} + U_{\tau\tau}) - c^2(U_{\xi\xi} + 2U_{\xi\tau} U I_{\tau\tau})= -4c^2U_{\xi\tau}\\ \Rightarrow U_{\xi\tau}=-\frac{1}{4c^2}F(\xi,\tau) \end{gather*} Dies ist eine gewöhnliche DGL: \begin{gather*} \Rightarrow U(\xi,\tau)=-\frac{1}{4c^2} \int \int F(\xi,\tau) \operatorname{d}\xi\operatorname{d}\tau \end{gather*} Dies ergibt eine Partikulärlösung. Die allgemeine Lösung setzt sich aus der Lösung der zugehörigen homogenen DGL und einer Partikulärlösung zusammen (Summe). \begin{gather*} U_{\xi\tau} = 0 \Rightarrow \, \int \operatorname{d}\tau \, \Rightarrow U_\xi ) \breve{\psi}(\xi)\\ \Rightarrow \int \breve{\psi}\operatorname{d}\xi + \varphi(\tau)= U(\xi,\tau) = \varphi(\tau) + \psi(\xi)\\ u(x,t) = \varphi(x+ct) + \psi(x-ct) \end{gather*} Das ist die Lösungsformel von d'Alembert (Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen). \end{document}