TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/13.VO LaTeX

 %-------------------------------------------------  % Created by Markus Diem, Markus Nemetz  %------------------------------------------------- \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} %umlaute \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[bf]{caption} \usepackage[pdfborder= 0]{hyperref} %links zu refs ohne rahmen \usepackage{dsfont} \usepackage{listings} %codelistings \usepackage{color} %fuer angabe der rationalen zahlen etc. \renewcommand{\captionfont}{\footnotesize} \setlength{\belowcaptionskip}{3pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} %abstand beim brechen der formeln \definecolor{Gray}{gray}{0.9} \lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize, backgroundcolor=\color{Gray}, numbers=left, numberstyle=\tiny, stepnumber=1, numbersep=5pt}  %**************************************************  % spezifische Makros  %************************************************** \newcommand{\real}{\mathds{R}} \newcommand{\definition} {\textbf{Definition: }} \newcommand{\bsp} {\textbf{Beispiel: }} \title{\textbf{Mathematik III} \linebreak \large{Vorlesung 13, 26.01.2007 (letzte VO)}} \author{Markus Nemetz} \date{Jänner 2007} \DeclareGraphicsExtensions{.eps} \setcounter{MaxMatrixCols}{11} \begin{document} \maketitle \section{Vorbemerkung} Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt. Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den Übungsbeispielen, die in ausgearbeiteter Form jeweils nach der Übungsrunde auf \emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind. \begin{flushright} Markus Nemetz 26.01.2007 \end{flushright} \section{Ergänzungen zum Begriff '\emph{absolut integrierbar}'} Die Behauptung, dass bei einer absolut integrierbaren Funktion $f(t)$ gelte \begin{gather*} \lim_{t \rightarrow \infty} f(t)=0 \end{gather*} ist i.A. falsch. Damit diese Behauptung gilt. müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:\begin{enumerate} \item $f(t)$ absolut integrierbar \item $f(t)$ stetig \item $f'(t)$ absolut integrierbar \begin{gather*} \int_{-\infty}^\infty |f'(t)| \operatorname{d}t = c \, \, \Rightarrow \,\, \int_{-\infty}^\infty f'(t) \operatorname{d}t = \breve{c} \end{gather*} \item $f(t)$ stückweise stetig differenzierbar. \end{enumerate} Dan gilt: $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow -\infty}f(t) = 0$. Allgemein gilt: \begin{gather*} |f(t)| = f'_+(t) + |f'_-(t)| \\ lim_{t \rightarrow \infty} f(t) - lim_{t \rightarrow -\infty} f(t)= \breve{c} \end{gather*} \section{Lineare PDG 1. Ordnung (Buch S. 364ff)} \begin{gather*} a_1(x_1,\dots,x_n)u_{x_1} + a_2(x_1,\dots,x_n)u_{x_2} + \dots +\\ + a_n(x_1,\dots,x_n)u_{x_n} + c(x_1,\dots,x_n)u + d(x_1,\dots,x_n)= 0\\ a_1(\vec{x})u_{x_1} + a_2(\vec{x})u_{x_2} + \dots + a_n(\vec{x})u_{x_n} + c(\vec{x})u + d(\vec{x})=0 \end{gather*} Für Funktion $u = u(x_1,\dots,x_n)$. Sonderfall: $c=d=0$ - 'Rumpf'-DGL: \begin{gather*} a_1(x_1,\dots,x_n)u_{x_1} + a_2(x_1,\dots,x_n)u_{x_2} + \dots + a_n(x_1,\dots,x_n)u_{x_n}=0 \end{gather*} Betrachten in Systemen von linearen DGL 'gekoppelte' Grössen $x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t)$, beschierben durch ein System von DGL: \begin{gather*} \begin{matrix} x_1(t) = v_1(t,x_1,\dots,x_n) \\ x_2(t) = v_2(t,x_2,\dots,x_n) \\ \vdots \\ x_n(t) = v_n(t,x_2,\dots,x_n) \\ \end{matrix} \qquad \Rightarrow \,\, \dot{\vec{x}}(t)=\vec{v}(t,\vec{x}) \end{gather*} \textbf{Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Systeme:} Wenn das Vektorfeld $\vec{v}(t,\vec{x})$ für alle $a < t < b$ und für alle $\vec{x}$ im Gebiet $D \subseteq \mathbb{R}^2$ stetig partiell nach $x_1, \dots, x_n$ differenzierbar ist, dann besitzt das AWP \begin{gather*} \dot{\vec{c}}(t) = \vec{v}(t, \vec{x}), \qquad \dot{\vec{c}}(t_0) = \vec{x}_0 \end{gather*} genau eine (maximale) Lösung.\\ Betrachten autonomes DGL-System (hängt nicht von $t$ ab) und setzen voraus, dass $\vec{v}(\vec{x})$ stetigt nach $x_1, \dots, x_n$ partiell differenzeirbar ist für $\vec{x} \in D$: \begin{gather*} \vec{x} = \vec{v}(\vec{x}) \end{gather*} Nach dem EE-Satz gibt es für jedes $\vec{a} \in D$ eine Lösungskurve, die für $t=0$ durch $\vec{a}$ geht. 'Notation' \begin{gather*} \vec{x}(t) = \Phi(t,\vec{a}) \end{gather*} Dabei ist $\Phi(t,\vec{a})$ die Lösungskurve.\\ Definition: Eine Funktion $u: D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ heißt \textbf{erstes Integral (=Invariante)}des DGL-Systems $\dot{\vec{x}}=\vec{v}(\vec{x})$, falls $u(\vec{a})=u(\Phi(t,\vec{a}))$ für alle $\vec{a} \in D$, d.h. $u$ ist konstant entlang jeder Lösungskurve: \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{erstes_integral.eps} \end{center} Beispiel: $\dot{x}=1, \dot{y}=1$, $x(0)=0, y(0)=0$. Lösen $x(t) = t + c$ und ergibt $c=0$ (wegen ($x(0)=0$) und daraus $x(t)=t$. Analog $y(t)=t$. \begin{gather*} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ t \\ \end{pmatrix} \end{gather*} \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{bsp_erstes_integral.eps} \end{center} Behauptung: $y-x$ ist erstes Integral. $u(x(t), y(t)) = t-t = 0$. Allgemein gilt: \begin{gather*} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ t \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \\ \end{pmatrix} = t + d - (t+c)= d - c = \text{const.} \end{gather*} 'Methode' zum Finden eines möglichst allgemeinen ersten Integrals: \begin{gather*} \text{System der Phasen-DGL} (n-1) \,\, \frac{\operatorname{d}x_1}{\operatorname{d}x_n}= \frac{v_1(\vec{x})}{v_n{\vec{x}}}, \dots, \frac{\operatorname{d}x_{n-1}}{\operatorname{d}x_n}= \frac{v_{n-1}(\vec{x})}{v_n{\vec{x}}} \end{gather*} Aus den ersten $n-1$ Gleichungen gewonnen: \begin{gather*} \dot{x}_1(t) = v_1(x_1, \dots, x_n)\\ \dot{x}_2(t) = v_2(x_1, \dots, x_n)\\ \vdots\\ \dot{x}_n(t) = v_n(x_1, \dots, x_n) \end{gather*} Annahme: $v_n(x_1, \dots, x_n) \neq 0$. Nach dem Hauptsatz impliziter Funktionen lösen wir $x_n$ nach $t$ auf, d.h. $t=x_n(t)$. Nun ersetzen wir $t$ überall durch $x_n$ und erhalten: \begin{gather*} x_1(t) = x_1(x_n(t))=x_1\\ \vdots\\ x_{n-1}(t) = x_{n-1}(x_n(t))=x_{n-1} \end{gather*} Ergibt allgemeine Lösung mit frei wählbaren Parametern $c_1, \dots, c_{n-1}$: \begin{gather*} x_1(x_n)=g_1(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})\\ x_2(x_n)=g_2(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})\\ \vdots\\ x_{n-1}(x_n)=g_{n-1}(x_n, c_1, \dots, c_{n-1}) \end{gather*} Weiter gilt: Wir können nach $c_1, \dots, c_{n-1}$ auflösen: \begin{gather*} c_1 = \varphi_1(x_1(t), \dots, x_n(t))\\ c_2 = \varphi_2(x_1(t), \dots, x_n(t))\\ \vdots\\ c_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1(t), \dots, x_n(t)) \end{gather*} Es gilt: $\varphi_1(\vec{x}), \dots, \varphi_{n-1}(\vec{x})$ sind unabhängige erste Integrale von $\dot{\vec{x}} = \vec{v}(\vec{x}(t))$. Allgemein gilt: $\varphi_1(\vec{x}), \dots, \varphi_{k}(\vec{x})$sind erste Integrale - dann ist \begin{gather*} F(\varphi_1(\vec{x}), \dots, \varphi_{k}(\vec{x})) \end{gather*} erstes Integral für jede $k$-stellige, differenzierbare Funktion. Beispiel: $u(x,y)=y-x=\text{const.}$: Daraus folgt dass \begin{gather*} F(\varphi_1(\vec{x}), \dots, \varphi_{n-1}(\vec{x})) \end{gather*} i.A. ein erstes Integral von $\vec{x}(t)=\vec{v}(\vec{x}(t))$.\\ Weiteres Beispiel: Gegeben sei die Rumpf-DGL \begin{gather*} a_1(\vec{x})u_{x_1} + a_2(\vec{x})u_{x_2} + \dots + a_n(\vec{x})u_{x_n}= 0 \end{gather*} begründet folgendes charakteristische DGL-System für eine Rumpf-DGL $\vec{a})(a_1, \dots, a_n)^T$: \begin{gather*} \dot{x}_1(t) = a_1(\vec{x})\\ \dot{x}_2(t) = a_2(\vec{x})\\ \vdots \dot{x}_n(t) = a_n(\vec{x}) \end{gather*} Dieses System kann man kürzer mit $\dot{\vec{x}}=\vec{a}(\vec{x})$ anschreiben. Es gilt folgender Satz: Sei $U \in G \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige, nach $x_1, \dots, x_n$ differenzierbare Funktion. Dann gilt, dass $u(x_1, \dots, x_n)$ ist eine Lösung der Rumpf-DGL und ist erstes Integral des charakteristischen DGL-Systems. Beispiel: $yu_x = xu_y$ - setzen $y=x$ und $x=y$ und erhalten nach $\dot{x}=y$ und $\dot{y}=x$ die trennbare Phasen-DGL: \begin{gather*} \frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}t}, \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}= x \qquad \Rightarrow \qquad \frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}y}=\frac{y}{x} \qquad \Rightarrow \qquad x \operatorname{d}x = y\operatorname{d}y\\ \Rightarrow \qquad \frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2} + c_1 \qquad \Rightarrow \qquad c_1 = \underbrace{\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2}}_{\varphi(x,y)} = \text{const.}\\ \Rightarrow \qquad \text{Allgemeines erstes Integral:} \qquad F(\varphi_1(x,y)) = F(\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2}) \end{gather*} Die allgemeine Lösung lautet: $u(x,y)=F(\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2})$. Allgemein für $n-2$: \begin{gather*} a(x,y)u_x + b(x,y)u_y + cu + d = 0\\ \text{Subst.} \,\, (x,y) \mapsto (\xi, \eta) = (\xi(x,y),\eta(x,y))\\ u(x,y)= U(\xi,\eta), a(x,y)= A(\xi, \eta), b(x,y)= B(\xi, \eta)\\ u_x = U_\xi\xi_x + U_\eta\eta_x\\ u_y = U_\xi\xi_y + U_\eta\eta_y\\ A(\xi,eta) (U_\xi\xi_x + U_\eta\eta_x) + B(\xi,eta)(U_\xi\xi_y + U_\eta\eta_y)+ c(\xi,\eta)U + D(\xi,eta)=0\\ (\underbrace{A\xi_{x} + B\xi_{y}}_{\blacktriangledown}) U_{\xi} + (A\eta_{x} + B\eta_{y})u_{\eta} + CU + D = 0 \end{gather*} Wählen in $\blacktriangledown$ $\xi$ so, dass $A\xi_x + B\xi_y=0$ (zugehörige Rumpf-DGL) - da dieser Term dann wegfällt ensteht eine gewöhnliche DGL. $\eta$ kann beliebig gewählt werden in Hinblick auf: \begin{gather*} \begin{vmatrix} \xi_x & \xi_y \\ \eta_x & \eta_y \\ \end{vmatrix} \neq 0 \end{gather*} \end{document}