TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/13.VO LaTeX
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<nowiki> %-------------------------------------------------
% Created by Markus Diem, Markus Nemetz
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%fuer angabe der rationalen zahlen etc.
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% spezifische Makros
%**************************************************
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\title{\textbf{Mathematik III} \linebreak
\large{Vorlesung 13, 26.01.2007 (letzte VO)}}
\author{Markus Nemetz}
\date{Jänner 2007}
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\setcounter{MaxMatrixCols}{11}
\begin{document}
\maketitle
\section{Vorbemerkung}
Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO
empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt.
Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die
jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den Übungsbeispielen, die
in ausgearbeiteter Form jeweils nach der Übungsrunde auf
\emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind.
\begin{flushright}
Markus Nemetz
26.01.2007
\end{flushright}
\section{Ergänzungen zum Begriff '\emph{absolut integrierbar}'}
Die Behauptung, dass bei einer absolut integrierbaren Funktion
$f(t)$ gelte
\begin{gather*}
\lim_{t \rightarrow \infty} f(t)=0
\end{gather*}
ist i.A. falsch.
Damit diese Behauptung gilt. müssen folgende Bedingungen
erfüllt sein:\begin{enumerate}
\item $f(t)$ absolut integrierbar
\item $f(t)$ stetig
\item $f'(t)$ absolut integrierbar
\begin{gather*}
\int_{-\infty}^\infty |f'(t)| \operatorname{d}t =
c \, \, \Rightarrow \,\, \int_{-\infty}^\infty f'(t) \operatorname{d}t =
\breve{c}
\end{gather*}
\item $f(t)$ stückweise stetig differenzierbar.
\end{enumerate}
Dan gilt: $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow
-\infty}f(t) = 0$.
Allgemein gilt:
\begin{gather*}
|f(t)| = f'_+(t) + |f'_-(t)| \\
lim_{t \rightarrow \infty} f(t) - lim_{t \rightarrow -\infty}
f(t)= \breve{c}
\end{gather*}
\section{Lineare PDG 1. Ordnung (Buch S. 364ff)}
\begin{gather*}
a_1(x_1,\dots,x_n)u_{x_1} + a_2(x_1,\dots,x_n)u_{x_2} +
\dots +\\
+ a_n(x_1,\dots,x_n)u_{x_n} + c(x_1,\dots,x_n)u +
d(x_1,\dots,x_n)= 0\\
a_1(\vec{x})u_{x_1} + a_2(\vec{x})u_{x_2} + \dots +
a_n(\vec{x})u_{x_n} + c(\vec{x})u + d(\vec{x})=0
\end{gather*}
Für Funktion $u = u(x_1,\dots,x_n)$.
Sonderfall: $c=d=0$ - 'Rumpf'-DGL:
\begin{gather*}
a_1(x_1,\dots,x_n)u_{x_1} + a_2(x_1,\dots,x_n)u_{x_2} + \dots
+ a_n(x_1,\dots,x_n)u_{x_n}=0
\end{gather*}
Betrachten in Systemen von linearen DGL 'gekoppelte' Grössen
$x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t)$, beschierben durch ein System
von DGL:
\begin{gather*}
\begin{matrix}
x_1(t) = v_1(t,x_1,\dots,x_n) \\
x_2(t) = v_2(t,x_2,\dots,x_n) \\
\vdots \\
x_n(t) = v_n(t,x_2,\dots,x_n) \\
\end{matrix} \qquad \Rightarrow \,\,
\dot{\vec{x}}(t)=\vec{v}(t,\vec{x})
\end{gather*}
\textbf{Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Systeme:} Wenn
das Vektorfeld $\vec{v}(t,\vec{x})$ für alle $a < t < b$ und
für alle $\vec{x}$ im Gebiet $D \subseteq \mathbb{R}^2$ stetig
partiell nach $x_1, \dots, x_n$ differenzierbar ist, dann
besitzt das AWP
\begin{gather*}
\dot{\vec{c}}(t) = \vec{v}(t, \vec{x}), \qquad
\dot{\vec{c}}(t_0) = \vec{x}_0
\end{gather*}
genau eine (maximale) Lösung.\\
Betrachten autonomes DGL-System (hängt nicht von $t$ ab) und
setzen voraus, dass $\vec{v}(\vec{x})$ stetigt nach $x_1,
\dots, x_n$ partiell differenzeirbar ist für $\vec{x} \in D$:
\begin{gather*}
\vec{x} = \vec{v}(\vec{x})
\end{gather*}
Nach dem EE-Satz gibt es für jedes $\vec{a} \in D$ eine
Lösungskurve, die für $t=0$ durch $\vec{a}$ geht. 'Notation'
\begin{gather*}
\vec{x}(t) = \Phi(t,\vec{a})
\end{gather*}
Dabei ist $\Phi(t,\vec{a})$ die Lösungskurve.\\
Definition: Eine Funktion $u: D \subseteq \mathbb{R}^n
\rightarrow \mathbb{R}$ heißt \textbf{erstes Integral
(=Invariante)}des DGL-Systems
$\dot{\vec{x}}=\vec{v}(\vec{x})$, falls
$u(\vec{a})=u(\Phi(t,\vec{a}))$ für alle $\vec{a} \in D$, d.h.
$u$ ist konstant entlang jeder Lösungskurve:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{erstes_integral.eps}
\end{center}
Beispiel: $\dot{x}=1, \dot{y}=1$, $x(0)=0, y(0)=0$. Lösen
$x(t) = t + c$ und ergibt $c=0$ (wegen ($x(0)=0$) und daraus
$x(t)=t$. Analog $y(t)=t$.
\begin{gather*}
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t) \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
t \\
t \\
\end{pmatrix}
\end{gather*}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{bsp_erstes_integral.eps}
\end{center}
Behauptung: $y-x$ ist erstes Integral. $u(x(t), y(t)) = t-t =
0$.
Allgemein gilt:
\begin{gather*}
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t) \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
t \\
t \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
c \\
d \\
\end{pmatrix} = t + d - (t+c)= d - c = \text{const.}
\end{gather*}
'Methode' zum Finden eines möglichst allgemeinen ersten
Integrals:
\begin{gather*}
\text{System der Phasen-DGL} (n-1) \,\,
\frac{\operatorname{d}x_1}{\operatorname{d}x_n}=
\frac{v_1(\vec{x})}{v_n{\vec{x}}}, \dots,
\frac{\operatorname{d}x_{n-1}}{\operatorname{d}x_n}=
\frac{v_{n-1}(\vec{x})}{v_n{\vec{x}}}
\end{gather*}
Aus den ersten $n-1$ Gleichungen gewonnen:
\begin{gather*}
\dot{x}_1(t) = v_1(x_1, \dots, x_n)\\
\dot{x}_2(t) = v_2(x_1, \dots, x_n)\\
\vdots\\
\dot{x}_n(t) = v_n(x_1, \dots, x_n)
\end{gather*}
Annahme: $v_n(x_1, \dots, x_n) \neq 0$. Nach dem Hauptsatz
impliziter Funktionen lösen wir $x_n$ nach $t$ auf, d.h.
$t=x_n(t)$.
Nun ersetzen wir $t$ überall durch $x_n$ und erhalten:
\begin{gather*}
x_1(t) = x_1(x_n(t))=x_1\\
\vdots\\
x_{n-1}(t) = x_{n-1}(x_n(t))=x_{n-1}
\end{gather*}
Ergibt allgemeine Lösung mit frei wählbaren Parametern $c_1,
\dots, c_{n-1}$:
\begin{gather*}
x_1(x_n)=g_1(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})\\
x_2(x_n)=g_2(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})\\
\vdots\\
x_{n-1}(x_n)=g_{n-1}(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})
\end{gather*}
Weiter gilt: Wir können nach $c_1,
\dots, c_{n-1}$ auflösen:
\begin{gather*}
c_1 = \varphi_1(x_1(t), \dots,
x_n(t))\\
c_2 = \varphi_2(x_1(t), \dots,
x_n(t))\\
\vdots\\
c_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1(t), \dots,
x_n(t))
\end{gather*}
Es gilt: $\varphi_1(\vec{x}), \dots, \varphi_{n-1}(\vec{x})$
sind unabhängige erste Integrale von $\dot{\vec{x}} =
\vec{v}(\vec{x}(t))$.
Allgemein gilt: $\varphi_1(\vec{x}), \dots,
\varphi_{k}(\vec{x})$sind erste Integrale - dann ist
\begin{gather*}
F(\varphi_1(\vec{x}), \dots,
\varphi_{k}(\vec{x}))
\end{gather*}
erstes Integral für jede $k$-stellige, differenzierbare
Funktion.
Beispiel: $u(x,y)=y-x=\text{const.}$: Daraus folgt dass
\begin{gather*}
F(\varphi_1(\vec{x}), \dots,
\varphi_{n-1}(\vec{x}))
\end{gather*}
i.A. ein erstes Integral von
$\vec{x}(t)=\vec{v}(\vec{x}(t))$.\\
Weiteres Beispiel: Gegeben sei die Rumpf-DGL
\begin{gather*}
a_1(\vec{x})u_{x_1} + a_2(\vec{x})u_{x_2} + \dots +
a_n(\vec{x})u_{x_n}= 0
\end{gather*}
begründet folgendes charakteristische DGL-System für eine
Rumpf-DGL $\vec{a})(a_1, \dots, a_n)^T$:
\begin{gather*}
\dot{x}_1(t) = a_1(\vec{x})\\
\dot{x}_2(t) = a_2(\vec{x})\\
\vdots
\dot{x}_n(t) = a_n(\vec{x})
\end{gather*}
Dieses System kann man kürzer mit
$\dot{\vec{x}}=\vec{a}(\vec{x})$ anschreiben.
Es gilt folgender Satz: Sei $U \in G \subseteq \mathbb{R}^n
\rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige, nach $x_1, \dots, x_n$
differenzierbare Funktion. Dann gilt, dass $u(x_1, \dots,
x_n)$ ist eine Lösung der Rumpf-DGL und ist erstes Integral
des charakteristischen DGL-Systems.
Beispiel: $yu_x = xu_y$ - setzen $y=x$ und $x=y$ und erhalten
nach $\dot{x}=y$ und $\dot{y}=x$ die trennbare Phasen-DGL:
\begin{gather*}
\frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}t},
\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}= x \qquad
\Rightarrow \qquad
\frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}y}=\frac{y}{x} \qquad
\Rightarrow \qquad x \operatorname{d}x =
y\operatorname{d}y\\
\Rightarrow \qquad \frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2} + c_1 \qquad
\Rightarrow \qquad c_1 = \underbrace{\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2}}_{\varphi(x,y)} =
\text{const.}\\
\Rightarrow \qquad \text{Allgemeines erstes Integral:}
\qquad F(\varphi_1(x,y)) = F(\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2})
\end{gather*}
Die allgemeine Lösung lautet: $u(x,y)=F(\frac{x^2}{2} -
\frac{y^2}{2})$.
Allgemein für $n-2$:
\begin{gather*}
a(x,y)u_x + b(x,y)u_y + cu + d = 0\\
\text{Subst.} \,\, (x,y) \mapsto (\xi, \eta) =
(\xi(x,y),\eta(x,y))\\
u(x,y)= U(\xi,\eta), a(x,y)= A(\xi, \eta), b(x,y)= B(\xi,
\eta)\\
u_x = U_\xi\xi_x + U_\eta\eta_x\\
u_y = U_\xi\xi_y + U_\eta\eta_y\\
A(\xi,eta) (U_\xi\xi_x + U_\eta\eta_x) + B(\xi,eta)(U_\xi\xi_y +
U_\eta\eta_y)+ c(\xi,\eta)U + D(\xi,eta)=0\\
(\underbrace{A\xi_{x} + B\xi_{y}}_{\blacktriangledown})
U_{\xi}
+ (A\eta_{x} + B\eta_{y})u_{\eta} + CU + D = 0
\end{gather*}
Wählen in $\blacktriangledown$ $\xi$ so, dass $A\xi_x +
B\xi_y=0$ (zugehörige Rumpf-DGL) - da dieser Term dann
wegfällt ensteht eine gewöhnliche DGL.
$\eta$ kann beliebig gewählt werden in Hinblick auf:
\begin{gather*}
\begin{vmatrix}
\xi_x & \xi_y \\
\eta_x & \eta_y \\
\end{vmatrix} \neq 0
\end{gather*}
\end{document}
</nowiki>
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