TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/13.VO LaTeX

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen
<nowiki>    %-------------------------------------------------
    %   Created by Markus Diem, Markus Nemetz
    %-------------------------------------------------

    \documentclass[12pt,a4paper]{article}
        \usepackage[latin1]{inputenc}                                       %umlaute
        \usepackage[german]{babel}
        \usepackage{amsmath}
        \usepackage{amssymb}
        \usepackage[dvips]{graphicx}
        \usepackage[bf]{caption}
        \usepackage[pdfborder= 0]{hyperref}                         %links zu refs ohne rahmen
        \usepackage{dsfont}
        \usepackage{listings}                                       %codelistings
        \usepackage{color}
                                                                    %fuer angabe der rationalen zahlen etc.

        \renewcommand{\captionfont}{\footnotesize}
        \setlength{\belowcaptionskip}{3pt}

        \renewcommand{\arraystretch}{1.3}                               %abstand beim brechen der formeln

        \definecolor{Gray}{gray}{0.9}

        \lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
        backgroundcolor=\color{Gray}, numbers=left, numberstyle=\tiny,
        stepnumber=1, numbersep=5pt}

    %**************************************************
    % spezifische Makros
    %**************************************************
        \newcommand{\real}{\mathds{R}}
        \newcommand{\definition}    {\textbf{Definition: }}
        \newcommand{\bsp}                   {\textbf{Beispiel: }}

        \title{\textbf{Mathematik III} \linebreak
        \large{Vorlesung 13, 26.01.2007 (letzte VO)}}
        \author{Markus Nemetz}
    \date{Jänner 2007}

    \DeclareGraphicsExtensions{.eps}

    \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

    \begin{document}
    \maketitle

    \section{Vorbemerkung}
    Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO
    empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt.

    Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die
    jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den Übungsbeispielen, die
    in ausgearbeiteter Form jeweils nach der Übungsrunde auf
    \emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind.

    \begin{flushright}
    Markus Nemetz

    26.01.2007
    \end{flushright}

    \section{Ergänzungen zum Begriff '\emph{absolut integrierbar}'}
    Die Behauptung, dass bei einer absolut integrierbaren Funktion
    $f(t)$ gelte
    \begin{gather*}
        \lim_{t \rightarrow \infty} f(t)=0
    \end{gather*}
    ist i.A. falsch.

    Damit diese Behauptung gilt. müssen folgende Bedingungen
    erfüllt sein:\begin{enumerate}
        \item $f(t)$ absolut integrierbar
        \item $f(t)$ stetig
        \item $f'(t)$ absolut integrierbar
            \begin{gather*}
                \int_{-\infty}^\infty |f'(t)| \operatorname{d}t =
                c \, \, \Rightarrow \,\, \int_{-\infty}^\infty f'(t) \operatorname{d}t =
                \breve{c}
            \end{gather*}
        \item $f(t)$ stückweise stetig differenzierbar.
    \end{enumerate}
    Dan gilt: $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow
    -\infty}f(t) = 0$.

    Allgemein gilt:
    \begin{gather*}
        |f(t)| = f'_+(t) + |f'_-(t)| \\
        lim_{t \rightarrow \infty} f(t) - lim_{t \rightarrow -\infty}
        f(t)= \breve{c}
    \end{gather*}

    \section{Lineare PDG 1. Ordnung (Buch S. 364ff)}
    \begin{gather*}
        a_1(x_1,\dots,x_n)u_{x_1} + a_2(x_1,\dots,x_n)u_{x_2} +
        \dots +\\
        + a_n(x_1,\dots,x_n)u_{x_n} + c(x_1,\dots,x_n)u +
        d(x_1,\dots,x_n)= 0\\
        a_1(\vec{x})u_{x_1} + a_2(\vec{x})u_{x_2} + \dots +
        a_n(\vec{x})u_{x_n} + c(\vec{x})u + d(\vec{x})=0
    \end{gather*}
    Für Funktion $u = u(x_1,\dots,x_n)$.

    Sonderfall: $c=d=0$ - 'Rumpf'-DGL:
    \begin{gather*}
        a_1(x_1,\dots,x_n)u_{x_1} + a_2(x_1,\dots,x_n)u_{x_2} + \dots
        + a_n(x_1,\dots,x_n)u_{x_n}=0
    \end{gather*}

    Betrachten in Systemen von linearen DGL 'gekoppelte' Grössen
    $x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t)$, beschierben durch ein System
    von DGL:
    \begin{gather*}
        \begin{matrix}
          x_1(t) = v_1(t,x_1,\dots,x_n) \\
          x_2(t) = v_2(t,x_2,\dots,x_n) \\
          \vdots \\
          x_n(t) = v_n(t,x_2,\dots,x_n) \\
        \end{matrix} \qquad \Rightarrow \,\,
        \dot{\vec{x}}(t)=\vec{v}(t,\vec{x})
    \end{gather*}

    \textbf{Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Systeme:} Wenn
    das Vektorfeld $\vec{v}(t,\vec{x})$ für alle $a < t < b$ und
    für alle $\vec{x}$ im Gebiet $D \subseteq \mathbb{R}^2$ stetig
    partiell nach $x_1, \dots, x_n$ differenzierbar ist, dann
    besitzt das AWP
    \begin{gather*}
        \dot{\vec{c}}(t) = \vec{v}(t, \vec{x}), \qquad
        \dot{\vec{c}}(t_0) = \vec{x}_0
    \end{gather*}
    genau eine (maximale) Lösung.\\

    Betrachten autonomes DGL-System (hängt nicht von $t$ ab) und
    setzen voraus, dass $\vec{v}(\vec{x})$ stetigt nach $x_1,
    \dots, x_n$ partiell differenzeirbar ist für $\vec{x} \in D$:
    \begin{gather*}
        \vec{x} = \vec{v}(\vec{x})
    \end{gather*}
    Nach dem EE-Satz gibt es für jedes $\vec{a} \in D$ eine
    Lösungskurve, die für $t=0$ durch $\vec{a}$ geht. 'Notation'
    \begin{gather*}
        \vec{x}(t) = \Phi(t,\vec{a})
    \end{gather*}
    Dabei ist $\Phi(t,\vec{a})$ die Lösungskurve.\\

    Definition: Eine Funktion $u: D \subseteq \mathbb{R}^n
    \rightarrow \mathbb{R}$ heißt \textbf{erstes Integral
    (=Invariante)}des DGL-Systems
    $\dot{\vec{x}}=\vec{v}(\vec{x})$, falls
    $u(\vec{a})=u(\Phi(t,\vec{a}))$ für alle $\vec{a} \in D$, d.h.
    $u$ ist konstant entlang jeder Lösungskurve:
        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.3]{erstes_integral.eps}
        \end{center}

    Beispiel: $\dot{x}=1, \dot{y}=1$, $x(0)=0, y(0)=0$. Lösen
    $x(t) = t + c$ und ergibt $c=0$ (wegen ($x(0)=0$) und daraus
    $x(t)=t$. Analog $y(t)=t$.
    \begin{gather*}
        \begin{pmatrix}
          x(t) \\
          y(t) \\
        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
          t \\
          t \\
        \end{pmatrix}
    \end{gather*}
        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.3]{bsp_erstes_integral.eps}
        \end{center}

    Behauptung: $y-x$ ist erstes Integral. $u(x(t), y(t)) = t-t =
    0$.

    Allgemein gilt:
    \begin{gather*}
        \begin{pmatrix}
          x(t) \\
          y(t) \\
        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
          t \\
          t \\
        \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
          c \\
          d \\
        \end{pmatrix} = t + d - (t+c)= d - c = \text{const.}
    \end{gather*}

    'Methode' zum Finden eines möglichst allgemeinen ersten
    Integrals:
    \begin{gather*}
        \text{System der Phasen-DGL} (n-1) \,\,
        \frac{\operatorname{d}x_1}{\operatorname{d}x_n}=
        \frac{v_1(\vec{x})}{v_n{\vec{x}}}, \dots,
        \frac{\operatorname{d}x_{n-1}}{\operatorname{d}x_n}=
        \frac{v_{n-1}(\vec{x})}{v_n{\vec{x}}}
    \end{gather*}
    Aus den ersten $n-1$ Gleichungen gewonnen:
    \begin{gather*}
        \dot{x}_1(t) = v_1(x_1, \dots, x_n)\\
        \dot{x}_2(t) = v_2(x_1, \dots, x_n)\\
        \vdots\\
        \dot{x}_n(t) = v_n(x_1, \dots, x_n)
    \end{gather*}
    Annahme: $v_n(x_1, \dots, x_n) \neq 0$. Nach dem Hauptsatz
    impliziter Funktionen lösen wir $x_n$ nach $t$ auf, d.h.
    $t=x_n(t)$.

    Nun ersetzen wir $t$ überall durch $x_n$ und erhalten:
    \begin{gather*}
        x_1(t) = x_1(x_n(t))=x_1\\
        \vdots\\
        x_{n-1}(t) = x_{n-1}(x_n(t))=x_{n-1}
    \end{gather*}

    Ergibt allgemeine Lösung mit frei wählbaren Parametern $c_1,
    \dots, c_{n-1}$:
    \begin{gather*}
         x_1(x_n)=g_1(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})\\
         x_2(x_n)=g_2(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})\\
         \vdots\\
         x_{n-1}(x_n)=g_{n-1}(x_n, c_1, \dots, c_{n-1})
    \end{gather*}
    Weiter gilt: Wir können nach $c_1,
    \dots, c_{n-1}$ auflösen:
    \begin{gather*}
        c_1 = \varphi_1(x_1(t), \dots,
        x_n(t))\\
        c_2 = \varphi_2(x_1(t), \dots,
        x_n(t))\\
        \vdots\\
        c_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1(t), \dots,
        x_n(t))
    \end{gather*}

    Es gilt: $\varphi_1(\vec{x}), \dots, \varphi_{n-1}(\vec{x})$
    sind unabhängige erste Integrale von $\dot{\vec{x}} =
    \vec{v}(\vec{x}(t))$.

    Allgemein gilt: $\varphi_1(\vec{x}), \dots,
    \varphi_{k}(\vec{x})$sind erste Integrale - dann ist
    \begin{gather*}
    F(\varphi_1(\vec{x}), \dots,
    \varphi_{k}(\vec{x}))
    \end{gather*}
    erstes Integral für jede $k$-stellige, differenzierbare
    Funktion.

    Beispiel: $u(x,y)=y-x=\text{const.}$: Daraus folgt dass
    \begin{gather*}
    F(\varphi_1(\vec{x}), \dots,
    \varphi_{n-1}(\vec{x}))
    \end{gather*}
    i.A. ein erstes Integral von
    $\vec{x}(t)=\vec{v}(\vec{x}(t))$.\\

    Weiteres Beispiel: Gegeben sei die Rumpf-DGL
    \begin{gather*}
        a_1(\vec{x})u_{x_1} + a_2(\vec{x})u_{x_2} + \dots +
        a_n(\vec{x})u_{x_n}= 0
    \end{gather*}
    begründet folgendes charakteristische DGL-System für eine
    Rumpf-DGL $\vec{a})(a_1, \dots, a_n)^T$:
    \begin{gather*}
        \dot{x}_1(t) = a_1(\vec{x})\\
        \dot{x}_2(t) = a_2(\vec{x})\\
        \vdots
        \dot{x}_n(t) = a_n(\vec{x})
    \end{gather*}
    Dieses System kann man kürzer mit
    $\dot{\vec{x}}=\vec{a}(\vec{x})$ anschreiben.

    Es gilt folgender Satz: Sei $U \in G \subseteq \mathbb{R}^n
    \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige, nach $x_1, \dots, x_n$
    differenzierbare Funktion. Dann gilt, dass $u(x_1, \dots,
    x_n)$ ist eine Lösung der Rumpf-DGL und ist erstes Integral
    des charakteristischen DGL-Systems.

    Beispiel: $yu_x = xu_y$ - setzen $y=x$ und $x=y$ und erhalten
    nach $\dot{x}=y$ und $\dot{y}=x$ die trennbare Phasen-DGL:
    \begin{gather*}
        \frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}t},
        \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}= x \qquad
        \Rightarrow \qquad
        \frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}y}=\frac{y}{x} \qquad
        \Rightarrow \qquad x \operatorname{d}x =
        y\operatorname{d}y\\
        \Rightarrow \qquad \frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2} + c_1 \qquad
        \Rightarrow \qquad c_1 = \underbrace{\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2}}_{\varphi(x,y)} =
        \text{const.}\\
        \Rightarrow \qquad \text{Allgemeines erstes Integral:}
        \qquad F(\varphi_1(x,y)) = F(\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2})
    \end{gather*}
    Die allgemeine Lösung lautet: $u(x,y)=F(\frac{x^2}{2} -
    \frac{y^2}{2})$.

    Allgemein für $n-2$:
    \begin{gather*}
        a(x,y)u_x + b(x,y)u_y + cu + d = 0\\
        \text{Subst.} \,\, (x,y) \mapsto (\xi, \eta) =
        (\xi(x,y),\eta(x,y))\\
        u(x,y)= U(\xi,\eta), a(x,y)= A(\xi, \eta), b(x,y)= B(\xi,
        \eta)\\
        u_x = U_\xi\xi_x + U_\eta\eta_x\\
        u_y = U_\xi\xi_y + U_\eta\eta_y\\
        A(\xi,eta) (U_\xi\xi_x + U_\eta\eta_x) + B(\xi,eta)(U_\xi\xi_y +
        U_\eta\eta_y)+ c(\xi,\eta)U + D(\xi,eta)=0\\
        (\underbrace{A\xi_{x} + B\xi_{y}}_{\blacktriangledown})
        U_{\xi}
        + (A\eta_{x} + B\eta_{y})u_{\eta} + CU + D = 0
    \end{gather*}
    Wählen in $\blacktriangledown$ $\xi$ so, dass $A\xi_x +
    B\xi_y=0$ (zugehörige Rumpf-DGL) - da dieser Term dann
    wegfällt ensteht eine gewöhnliche DGL.

    $\eta$ kann beliebig gewählt werden in Hinblick auf:
    \begin{gather*}
        \begin{vmatrix}
          \xi_x & \xi_y \\
          \eta_x & \eta_y \\
        \end{vmatrix} \neq 0
\end{gather*}


\end{document}
</nowiki>

[[Kategorie:Materialien]]