TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/4.VO LaTeX

%Zum Miteditieren/Korrigieren - Änderungen werden von mir sobald als möglich als PDF online gestellt! %------------------------------------------------- % Created by Markus Diem, Markus Nemetz %------------------------------------------------- \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} %umlaute \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[bf]{caption} \usepackage[pdfborder= 0]{hyperref} %links zu refs ohne rahmen \usepackage{dsfont} %fuer angabe der rationalen zahlen etc. \renewcommand{\captionfont}{\footnotesize} \setlength{\belowcaptionskip}{3pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} %abstand beim brechen der formeln  %**************************************************  % spezifische Makros  %************************************************** \newcommand{\real}{\mathds{R}} \newcommand{\definition} {\textbf{Definition: }} \newcommand{\bsp} {\textbf{Beispiel: }} \title{\textbf{Mathematik III} \linebreak \large{Vorlesung 4, 27.10.2006}} \author{Markus Nemetz} \date{Oktober 2006} \DeclareGraphicsExtensions{.eps} \begin{document} \maketitle \section{Vorbemerkung} Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt. Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den Übungsbeispielen, die in ausgearbeiteter Form jeweils nach der Übungsrunde auf \emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind. \begin{flushright} Markus Nemetz 27.10.2006 02.11.2006 (Ergänzungen) 03.11.2006 (Ergänzungen nach Anmerkungen v. Prof. Panholzer) \end{flushright} \section{Potenzreihenansatz zur Lösung von Differentialgleichungen} Es liegt eine Differentialgleichung in folgender Form vor: \begin{gather*} F(x,y,y',\dots,y^{(n)}=0, \end{gather*} und wir nehmen an, dass die Lösung $x_0 = x$ in eine Potenzreihe entwickelbar ist, d.h.: \begin{gather*} y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (x - x_0)^n \end{gather*} Die Bestimmung der Koeffizienten $a_1, a_2, \dots, a_n$ kann auf zwei Arten erfolgen: \subsection{Fortgesetzte Differentiation} Ausgangspunkt ist das AWP \begin{gather*} y'=f(x,y), \qquad y(x_0) = y_0 \end{gather*} Mit der Taylor-Formel gilt: \begin{gather*} a_m = \frac{y^{(n)}(x_0)}{n!}, \end{gather*} Durch fortgesetzte Differentiation der Gleichung $y'(x) = f(x,y(x))$ bei $x=x_0$ (Kettenregel) bestimmt man nacheinander die Koeffizienten: \begin{gather*} a_0 = y(x_0) = y_0 \\ a_1 = y'(x_0) = f(x_0,y_0)\\ 2!a_2 = y''(x_0) = f_x(y_0,y_0) + f_y(x_0,y_0)y'(x_0)\\ 3!a_3 = y'''(x_0) = [f_{xx} + f_{xy}y' + (f_{yx} + f_{yy})y' + f_yy'']_{x_0,y_0}\\ \vdots \end{gather*} \subsection{Koeffizizentenvergleich} \begin{enumerate} \item Ableitungen bilden: \begin{gather*} y'(x) = \sum_{n=0}^\infty n \cdot a_n \cdot (x-x_0)^{n-1}\\ y''(x) = \sum_{n=0}^\infty n \cdot (n-1) \cdot a_n \cdot (x-x_0)^{n-2} \end{gather*} \item Potenzen von $y(x)$ (($y(x))^2,(y(x))^3,\dots$) nach der Cauchy-Produktformel entwickeln: \begin{gather*} f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n\cdot (x-x_0)^n, \qquad g(x) = \sum_{n=0}^\infty g_n\cdot (x-x_0)^n\\ h(x) := f(x) \cdot g(x) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{h_n}_{h_n=\sum_{k=0}^\infty f_k \cdot g_{n-k}}\cdot (x-x_0)^n \end{gather*} \item Reihenentwicklung in Differentialgleichung einsetzen und nach Potenzen von $(x-x_0)^n$ ordnen. Dann die Koeffizienten von $(x-x_0)$ vergleichen, d.h. $F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0$ setzen. $\Rightarrow \,$ Gleichungssystem (unendlich dimensional) für $a_0, a_1, \dots$. Die Reihenentwicklung wird unter Annahme einer guten Approximation abgebrochen. \end{enumerate} Zum Beispiel die \textbf{Laguerre-Differentialgleichung}: \begin{gather*} x\cdot y'' + (1-x)\cdot y' + m \cdot y = 0, \qquad m \in \mathbb{R} \end{gather*} Potenzreihenentwicklung um $x_=0$ mit dem Ansatz: \begin{gather*} y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot x^n\\ \sum_{n=0 \mathbf{(1)}}^\infty n\cdot (n-1) \cdot a_n \cdot x^{n-1} + (1-x)\cdot\sum_{n=0}^\infty n \cdot a_n \cdot x^{n-1} + m \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^{n}\\ \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot n \cdot a_{n+1} \cdot x^{n} + (1-x)\cdot\sum_{n=0 \mathbf{(1)}}^\infty n \cdot a_n \cdot x^{n-1} - \sum_{n=0}^\infty n \cdot a_n \cdot x^n + m \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^{n}\\ \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot n \cdot a_{n+1} \cdot x^{n} + (1-x)\cdot\sum_{n=0}^\infty n \cdot a_n \cdot x^{n} - \sum_{n=0}^\infty n \cdot a_n \cdot x^n + m \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^{n}\\ \sum_{n=0}^\infty ((n+1) \cdot n \cdot a_{n+1} + (n+1) \cdot a_{n+1} + (m-n) \cdot a_n) \cdot x^n = 0\\ \sum_{n=0}^\infty ((n+1)^2 \cdot a_{n+1} + (m-n) \cdot a_n) \cdot x^n = 0 \end{gather*} Koeffizientenvergleich für $(n+1)^2 \cdot a_{n+1} + (m-n) \cdot a_n$ für alle $n\geq 0$ durchführen und danach versuchen, ein Bildungsgesetz zu erkennen: \begin{enumerate} \item $n=1$: \begin{gather*} a_1 + m \cdot a_0 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad a_1 = -m\cdot a_0 \end{gather*} $a_0$ frei wählbar \item $n=1$ \begin{gather*} 2^2 \cdot a^2 + (m-1)\cdot a_1 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad a_2 = -\frac{m-1}{2} \cdot \frac{a_1}{2} =\\ (-1)\cdot (-1) \cdot \frac{(m-1)\cdot m}{2} \cdot \frac{a_0}{2} \end{gather*} \item $n=2$ \begin{gather*} 3^2 \cdot a_3 + (m-2)\cdot a_2 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \\ a_3 = -\frac{m-2}{3^2} \cdot a_2 = (-1)^3 \underbrace{\frac{m\cdot(m-1)\cdot(m-2)}{1\cdot2\cdot3}}_{\frac{m!}{3!(m-3)!} = \begin{pmatrix} m \\ 3 \\ \end{pmatrix}} \cdot \frac{a_0}{1\cdot 2 \cdot 3} \end{gather*} \end{enumerate} Daraus ergibt sich das \textbf{Bildungsgesetz}: \begin{gather*} a_n = (-1)^n \cdot \begin{pmatrix} m \\ n \\ \end{pmatrix} \cdot \frac{a_0}{n!} \end{gather*} Beweis müsste mittels vollständiger Induktion erfolgen. Die Funktion allgemein als Potenzreihe ausgedrückt (ist auch die Lösung der Daguerre-Differentialgleichung) lautet nun: \begin{gather*} \mathbf{y(x) = a_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \begin{pmatrix} m \\ n \\ \end{pmatrix}} \cdot \frac{x^n}{n!} \end{gather*} Falls $m \in \mathbb{N}$ bricht die Reihe bei $n > m$ ab - es bleibt das Laguerre-Polynom übrig. \section{Modifizierter Potenzreihenansatz für lineare DGL 2. Ordnung} Wenn der bisher erwähnte Ansatz nicht zum Ziel führt wird der modifizierte Potenzreihenansatz verwendet. Die DGL muss in folgender Form vorliegen: \begin{gather*} p(x) \cdot y'' + q(x) \cdot y' + r(x) \cdot y = 0 \end{gather*} $\frac{q(x)}{p(x)}$ und $\frac{r(x)}{p(x)}$ müssen um $x=x_0$ in eine Taylorreihe entwickelbar sein. Das Problem sind dabei die Nullstellen von $p(x)$. Wenn $p(x_0)=0$, so wird $x_0$ ein \textbf{singulärer Punkt} genannt. Eine Nullstelle $x_0$ von $p(x)$ heißt \textbf{reguläre Singularität} der DGL, falls die Funktionen $p_0(x),p_1(x),\dots$ mit $p(x)=(x-x_0)^2\cdot p_0(x), y(x)=(x-x_0)\cdot p_1(x), r=p_2(x)$ existieren, so dass $p_0(x), p_1(x), p_2(x)$ um $x_0$ in eine Taylorreihe entwickelbar sind und zusätzlich $p_0(x_0) \neq 0$ gilt. Falls $x_0$ ist reguläre Singularität der DGL \begin{gather*} (x-x_0)^2\cdot p_0(x) \cdot y'' + (x-x_0)\cdot p_1(x) \cdot y' + p_2(x)\cdot y=0 \end{gather*} und $r$ eine Nullstelle der Indexgleichung \begin{gather*} r\cdot(r-1)\cdot p_0(x_0) + r\cdot p_1(x_0) + p_2(x_0) = 0 \end{gather*} ist, dann gilt die Potenzreihendarstellung: \begin{gather*} y(x)=(x-x_0)^r \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (x-x_0)^n \end{gather*} Beispiel: \textbf{Bessel-Differentialgleichungen}, welche die folgende Form haben: \begin{gather*} x^2\cdot y'' + x\cdot y' + (x^2 - \alpha^2)\cdot y = 0, \qquad \alpha \in \mathbb{R} \end{gather*} Wenn $x=0$, liegt reguläre Singularität vor - Lösung mittels Potenzreihenansatz um $x_0=0$ möglich. Dabei unterscheiden wir zwei Fälle: (a) $\alpha = m \in \mathbb{N}$ und (b) $\alpha = m \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ \begin{itemize} \item $\alpha = m \in \mathbb{N}$ \begin{gather*} x^2\cdot y'' + x\cdot y' + (x^2 + m^2)\cdot y = 0 \\ p_0(x_0) = 1, \qquad p_1(x_0) = 1, \qquad p_2(x_0) = x^2 - m^2\\ \text{Indexgleichung: }\,\,\, r\cdot(r-1)\cdot 1 + r \cdot 1 - m^2=0\\ \Rightarrow \qquad r^2 -m^2 =0, \qquad \Rightarrow \qquad r_{1,2}=\pm m \end{gather*} \begin{itemize} \item $r_1=+m$ \begin{gather*} \text{Ansatz: }\,\,\, y(x) = x^m \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^{n+m}\\ \sum_{n=0}^\infty (n+m) \cdot (n+m-1) \cdot a_n \cdot\mathbf{ x^{n+m}}+ \sum_{n=0}^\infty (n+m) \cdot a_n \cdot \mathbf{x^{n+m}}+ \\ + \underbrace{(x^2 - m^2) \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^{n+m}}_{= \blacksquare} = 0\\ \blacksquare \underbrace{\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^{n+m+2} - \sum_{n=0}^\infty m^2 \cdot a_n \cdot x^m}_{= \diamondsuit}\\ \diamondsuit \sum_{\textbf{n=2}}^\infty a_{n-2} \cdot \mathbf{x^{n+m}}-\sum_{n=0}^\infty m^2 \cdot \mathbf{x^{n+m}} \end{gather*} Durchführung des Koeffizientenvergleichs: \begin{itemize} \item $n=0$ \begin{gather*} m \cdot (m -1) \cdot a_0 + m \cdot a_0 - m^2 \cdot a_0 = 0 \end{gather*} Da $0 \cdot a_0 = 0$ gilt ist $a_0$ frei wählbar! \item $n=1$ \begin{gather*} (m+1) \cdot m \cdot a_1 = (m+1) \cdot a_1 - m^2 \cdot a_1 = 0\\ 2\cdot(m+1) \cdot a_1 = 0 \qquad \underbrace{\Rightarrow}_{m \in \mathbb{N}} \qquad a_1 = 0 \end{gather*} \item $n\geq2$ \begin{gather*} (m+n) \cdot (n + m - 1) \cdot a_n = (m+n) \cdot a_n + a_{n-2} - m^2 \cdot a_n = 0\\ \mathbf{((n+m)^2 - m^2)\cdot a_n + a_{n-2} = 0} \end{gather*} Rekursion für die Bestimmung für $n \geq 2$ (Differenzengleichung). Mittels Induktion ergibt sich für die ungeraden Koeffizienten immer 0. Betrachten nun die geraden Koeffizienten ($a_{2n}$): \begin{gather*} ((2\cdot n + m)^2 -m^2) \cdot a_{2n} + a_{2\cdot n - 2} = 0\\ \Rightarrow a_{2\cdot n} = -\frac{a_{2n-2}}{(2n+m)^2 - m^2} = -\frac{a_{2n-2}}{(2n+2m)\cdot 2n} = \\ = -\frac{a_{2n-2}}{4(n+m)\cdot n} = \underbrace{\dots}_{\text{iterieren}} = \\ (-1)^n \cdot \frac{a_0 \cdot m!}{4^n \cdot n! \cdot (n+m)!} \end{gather*} Die folgende Funktion ist somit eine Lösung der Bessel-Differen-tialgleichung ($a_0 \in \mathbb{R}$): \begin{gather*} \mathbf{y(x) = x^m \cdot a_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{a_0 \cdot m!}{4^n \cdot n! \cdot (n+m)!}\cdot x^{2n}} \end{gather*} Frei wählbares $a_0$: Mit folgendem speziellen $a_0$ ergibt sich die \textbf{Bessel-Funktion 1. Art der Ordnung $\mathbf{m}$}: \begin{gather*} a_0 = \frac{1}{2^m \cdot m!} \\ \mathbf{J_m(x) = \frac{x^m}{2^m} sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{4^n \cdot n! \cdot (n+m)!}} \end{gather*} \end{itemize} \newpage \item $r_2=-m$ Nicht in der VO behandelt, aber der Vollständigkeit halber erwähnt. Die zweite Lösung der Differentialgleichung in der Gestalt \begin{gather*} Y_m(x) = c\cdot J_m(x) \cdot \ln x + \frac{1}{x_m} \cdot P_2(x) \end{gather*} ($c \in \mathbb{R}$,$P_2$ ist Potenzreihe um $x_0$ (singuläre Stelle)) ist die \textbf{Bessel-Funktion 2. Art der Ordnung $\mathbf{m}$}($J_m$ und $Y_m$ bilden eine Lösungs-basis). \end{itemize} \item $\alpha = m \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ Berechnung analog wie bei $r_1$, nur statt dessen bei letzter Umformung statt $m!$ die Gamma-Funktion $\Gamma(\alpha +1)$. Der Vollständigkeit halber (nicht in VO behandelt) seien der Ansatz $a_0 = \frac{1}{2^\alpha \Gamma(\alpha +1)}$ (Gamma-Funktion ist eine höhere Funktion und als $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \mathrm{d}t$ definiert) mit der folgenden Lösung erwähnt: \begin{gather*} y(x) = \frac{x^\alpha}{2^\alpha} \cdot \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{1}{4^n \cdot n! \cdot \Gamma(n+\alpha+1)}\cdot x^{2n} \end{gather*} Für weitere Details siehe Meyberg/Vachenauer, Höhere Mathematik 2, 2. Aufl., S. 88. \end{itemize} \textbf{Ergänzungen aus der 5.VO. (03.11.2006):} \begin{itemize} \item Die Inxexgleichung ist ein quadratisches Polynom mit zwei Lösungen $r_1$,$r_2$ \begin{itemize} \item Wenn $r_1 \neq r_2 \, \, \, \wedge \, \, \, r_1 - r_2 \not\in \mathbb{Z}$ - modifizierten Potenzreihenansatz verwenden - ergibt zwei unabhängige Lösungen: ($P(x)$ ist Potenzreihe) \begin{enumerate} \item $(x-x_0)^{r_1} \cdot P(x)$ \item $(x-x_0)^{r_2} \cdot P(x)$ \end{enumerate} \item $r_1=r_2 \, \, \, \wedge \, \, \, r_1 - r_2 \in \mathbb{Z}$ - wähle das 'grössere' $r$ ($r=\max(r_1,r_2)$) für den Lösungsansatz \begin{gather*} (x-x_0)^r \cdot P(x) \end{gather*} Liefert aber keine allgemeine Lösung (nur durch Variation der Konstanten erhältlich, s.5.VO) \end{itemize} \end{itemize} \section{Lineare DGL n-ter Ordnung} \begin{gather*} a_n(x) \cdot y^{n}(x) + a_{n-1}(x) \cdot y^{n-1}(x) + \dots + a_1(x) \cdot y(x)' + a_0(x) y(x) = b(x) \end{gather*} ($a_n(x) \neq 0, a_0(x),\dots$ sind stetige Funktionen in einem offenen Intervall $I \subseteq \mathbb{R}$) $b(x)$ ist die Störfunktion (inhomogener Anteil). Ist $b=0$ liegt eine homogene DGL vor. Zum Satz vom Lösungsraum homogener linearer DGL $n$-ter Ordnung: $\varphi_1(x)$ und $\varphi_2(x)$ seien Lösungen der homogenen DGL - dann folgt daraus, dass $\alpha\cdot \varphi_1(x) + \beta\cdot \varphi_2(x)$ auch eine Lösung ist. Die Gesamtheit aller Lösungen bildet einen $n$-dimensionalen Vektorraum über $\mathbb{R}$. Die allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet: \begin{gather*} y_h = c_1\cdot \varphi_1(x) + c_2\cdot \varphi_2(x) + \dots + c_n\cdot \varphi_n(x) \end{gather*} Für alle Werte ($(y_0, y_0', y_0'', \dots, y_0^{(n-1)}) \in \mathbb{R}^n$ und $x \in I$ gilt: Das AWP $y^n(x) + \dots + a_0(x) \cdot y(x) =0$ mit $y^{(n)}(x_0) = y_0^{k}$ hat immer eine eindeutige Lösung. Die $n$ Lösungen der DGL ($\varphi_1(x), \dots, \varphi_n(x)$) bilden genau dann eine Basis des Lösungsraums (= Lösungsbasis, Fundamentalsystem), wenn die \textbf{Wronski-Determinante} $W(x) \neq 0$ für \emph{ein} $x \in I$ ist: \begin{gather*} W(x) = \Phi(x) = \begin{pmatrix} \varphi_1(x) & \varphi_2(x) & \ldots & \varphi_n(x) \\ \varphi_1'(x) & \varphi_2'(x) & \ldots & \varphi_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \varphi_1^{n-1}(x) & \varphi_2^{n-1}(x) & \ldots & \varphi_n^{n-1}(x) \\ \end{pmatrix} \end{gather*} $\Rightarrow$ Vollständige Lösung $y^{(n)}(x) = c_1\varphi_1(x) + \dots + c_n\varphi_n(x)$ mit $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$. \end{document}