TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/5.VO LaTeX

%------------------------------------------------- % Created by Markus Diem, Markus Nemetz %------------------------------------------------- \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} %umlaute \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[bf]{caption} \usepackage[pdfborder= 0]{hyperref} %links zu refs ohne rahmen \usepackage{dsfont} %fuer angabe der rationalen zahlen etc. \renewcommand{\captionfont}{\footnotesize} \setlength{\belowcaptionskip}{3pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} %abstand beim brechen der formeln  %**************************************************  % spezifische Makros  %************************************************** \newcommand{\real}{\mathds{R}} \newcommand{\definition} {\textbf{Definition: }} \newcommand{\bsp} {\textbf{Beispiel: }} \title{\textbf{Mathematik III} \linebreak \large{Vorlesung 5, 03.11.2006}} \author{Markus Nemetz} \date{November 2006} \DeclareGraphicsExtensions{.eps} \setcounter{MaxMatrixCols}{11} \begin{document} \maketitle \section{Vorbemerkung} Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt. Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den Übungsbeispielen, die in ausgearbeiteter Form jeweils nach der Übungsrunde auf \emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind. \begin{flushright} Markus Nemetz 03.11.2006 \end{flushright} \section{Lineare DGL $n$-ter Ordnung} Der \textbf{Satz über dem Lösungsraum}: \begin{itemize} \item \textbf{Homogene DGL} Die homogene DGL hat die Form \begin{gather*} y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0 \end{gather*} und ihre allg. Lösung hat die Form \begin{gather*} y_{[h]}(x) = c_1\varphi_1(x) + c_2\varphi_2(x) + \dots + c_n\varphi_n(x) \end{gather*} \item \textbf{Inhomogene DGL} Die inhomogene DGLhat die Form \begin{gather*} y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x) = s(x) \end{gather*} $s(x)$ ist eine Störfunktion. Angenommen $\varphi_1, \dots \varphi_n$ sind unabh. Lösungen der homogenen DGL und bekannt - wie erhält man die \textbf{Partikulärlösung} $y_{[p]}$? Die allg. Lösung ergibt sich aus: \begin{gather*} y(x) = y_{[h]}(x) + y_{[p]}(x) \end{gather*} Erhalten \emph{eine} partikuläre Lösung über den Ansatz '\textbf{Variation der Konstanten}' ($c \Rightarrow c(x)$): \begin{gather*} y_{[p]}(x) := c_1\mathbf{(x)}\varphi_1(x) + c_2\mathbf{(x)}\varphi_2(x)+ \dots c_n\mathbf{(x)}\varphi_n(x) \end{gather*} Für $c_1(x),\dots,c_n(x)$ gelten folgende Bedingungen: \begin{equation*} \begin{matrix} (1) & \, \, \,& c_1'(x)\varphi_1(x) & + & c_2'(x)\varphi_2(x) & + & \dots & + & c_n'(x)\varphi_n(x) & = & 0 \\ (2) & \, \, \, & c_1'x)\varphi_1'(x) & + & c_2'(x)\varphi_2'(x) & + & \dots & + & c_n'(x)\varphi_n'(x) & = & 0 \\ \vdots & & & & & & & & & & \\ (n-1) & \, \, \, & c_1'x)\varphi_1^{(n-2)}(x) & + & c_2'(x)\varphi_2^{(n-2)}(x) & + & \dots & + & c_n'(x)\varphi_n^{(n-2)}(x) & = & 0 \\ (n) & \, \, \, & c_1'x)\varphi_1^{(n-1)}(x) & + & c_2'(x)\varphi_2^{(n-1)}(x) & + & \dots & + & c_n'(x)\varphi_n^{(n-1)}(x) & = & s(x) \\ \end{matrix} \end{equation*} Folgendes Lineare Gleichungssystem ergibt für $c_1'(x),\dots,c_n'(x)$ eindeutige Lösungen: \begin{gather*} \underbrace{\begin{vmatrix} \varphi_1(x) & \varphi_2(x) & \hdots & \varphi_n(x) \\ \varphi_1'(x) & \varphi_2'(x) & \hdots & \varphi_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \varphi_1^{[n-1]}(x) & \varphi_2^{[n-1]}(x) & \hdots & \varphi_n^{[n-1]}(x) \\ \end{vmatrix}}_{\text{Fundamentalmatrix}}\cdot \begin{pmatrix} c_1'(x) \\ c_2'(x) \\ \vdots \\ c_n'(x) \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ \vdots \\ \mathbf{s(x)} \\ \end{pmatrix} \end{gather*} Wir erhalten $c_1(x),\dots,c_n(x)$ durch die Integration der aus dem Linearen Gleichungssystem errechneten $c_1'(x),\dots,c_n'(x)$ Anmerkung: Bei einer DGL 1. Ordnung sieht dieser Ansatz einfach so aus: $\varphi_1(x) \qquad \Rightarrow \qquad \varphi_1(x)\cdot c_1'(x) = s(x)$. \end{itemize} Beispiel einer \textbf{Eulerschen DGL}: \begin{gather*} x^2y'' - 2xy' + 2y = x^3 \end{gather*} Im ersten Schritt bestimmen wir das Fundamentalsystem $\varphi_1(x),\varphi_2(x)$ der zugehörigen homogenen DGL., und zwar mit dem Ansatz $\varphi(x)=x^m$: \begin{gather*} y(x)=x^r, \qquad y'(x)=rx^{r-1}, \qquad y''(x)=r(r-1)x^{r-2}\\ x^2r(r-1)x^{r-2} - 2xrx^{r-1} + 2x^r=0 \\ r(r-1)x^r - 2rx^r + 2x^r = 0 \qquad | \, \; : \frac{1}{x^r}\\ r(r-1) - 2r + 2 = 0 \qquad \text{Indexgleichung}\\ r^2-3r+2=0 \qquad \Rightarrow \qquad (r-2)(r-1)=0 \qquad \Rightarrow \qquad \mathbf{r_{1,2} = 1,2} \end{gather*} Die Lösungen der homogenen DGL sind somit: $\varphi_1(x)=x^1=x$,$\varphi_2(x)=x^2$. Mit Hilfe der Wronski-Determinante (s.4.VO) prüfen wir die Unabhängigkeit der Lösungen: \begin{gather*} W(x) = \begin{vmatrix} x & x^2 \\ 1 & 2x \\ \end{vmatrix} = 2x^2 - x^2 = x^2\\ W(1) = 1^2 = 1 \neq 0 \end{gather*} Somit sind die Lösungen unabhängíg und die Lösung der homogenen DGL lautet: \begin{gather*} y_{[h]}(x) = c_1x + c_2x^2 \end{gather*} Nun wenden wir die 'Variation der Konstanten' an: \begin{gather*} \mathbf{x^2}y'' - 2xy' + 2y = x^3 \qquad | \,\, _ \frac{1}{x^2}\\ \mathbf{1}y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^2}y=x\\ \varphi_1=x, \varphi_2=x^2\\ \text{Ansatz}\qquad y_{[p]} = c_1(x)\varphi_1(x) + c_2(x)\varphi_2(x)\\ \begin{bmatrix} x & x^2 \\ 1 & 2x \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{pmatrix} c_1'(x) \\ c_2'(x) \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{x^3}{x^2}=x \end{pmatrix}\\ \text{Cramer'sche Regel anwenden}\\ c_1'(x) = \frac{\begin{vmatrix} 0 & x^2 \\ x & 2x \\ \end{vmatrix}}{W(x)} = \frac{-x^3}{x^2} = x\\ c_2'(x) = \frac{\begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & x \\ \end{vmatrix}}{W(x)} = \frac{x^2}{x^2} = 1\\ \end{gather*} Nach Integration ergibt sich $c_1(x) = -\frac{x^2}{2}$ und $c_2(x)=x$ und damit: \begin{gather*} y_{[p]}(x) = -\frac{x^2}{2}\cdot x + x\cdot x^2 = \frac{x^3}{2}\\ \mathbf{y(x) = \frac{x^3}{2} + c_1x + c_2x^2} \qquad \text{allg.Lsg.} \end{gather*} Eine weitere Anwendung für die Variation der Konstanten ist die folgende: Es sei eine homogene lineare DGL gegeben und es sei angenommen, man kenne eine Lösung $\varphi_1(x)$. In diesem Fall führt man eine Reduktion der Ordnung $n$ der DGL durch den \textbf{Reduktionsansatz} \begin{gather*} y(x)=\varphi_1(x)\cdot c(x) \end{gather*} durch, was eine DGL der Ordnung $n-1$ für $c'(x)$ ergibt. Beispiel (s. vorhergehendes): \begin{gather*} x^2y'' - 2xy' + 2y = 0, \qquad \varphi_1(x)=x\\ \text{Ansatz} \qquad y=c(x) x \qquad \Rightarrow \qquad y' = c'(x) + c\\ y''=c''x + c' + c' = c''x + 2c'\\ x^2(c''x + 2c' - 2x(c'x + c) + 2cx=0\\ x^3c''=0 \qquad \Rightarrow \qquad c''=0 \qquad \Rightarrow \qquad c'=1 \qquad \Rightarrow \qquad \mathbf{c=x}\\ y(x)=c(x)\cdot x = x\cdot x=x^2 \qquad \Rightarrow \qquad \text{unabh. Lsg.} \end{gather*} \section{Lineare DGL $n$-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten} Die allgemeine Form (\textbf{homogen}) ist: \begin{gather*} y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0(x)y = 0 \qquad a_0,\dots,a_{n-1} \in \mathbb{R} \end{gather*} Verwendug des Exponentialansatzes $\mathbf{y(x)=e^{\lambda x}}$, was das folgende charakteristische Polynom von Grad $n$ ergibt: \begin{gather*} P(\lambda)=\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_1\lambda + a_0 = 0 \end{gather*} Nullstellen (Vielfachheit $k$): \begin{gather*} P(\lambda)=(\lambda - \lambda_1)^{k_1}\cdot(\lambda - \lambda_2)^{k_2}\cdot\dots\cdot(\lambda - \lambda_i)^{k_j} \\ \lambda_i \neq \lambda_j, \qquad 1 \leq j \leq i, \qquad \lambda_i \in \mathbb{C} \end{gather*} Die Lösungsbasis $\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)$ der homogenen DGL erhält man wie folgt: \begin{itemize} \item Falls $\lambda$ eine reelle Nullstelle mit der Vielfachheit $k$ ist: $k_i$ ist unabhängige Lösung, gegeben durch $e^{\lambda_ix},xe^{\lambda_ix},x^2e^{\lambda_ix},\dots, x^{k-1}e^{\lambda_ix},$ \item Falls $\lambda=\alpha - i\beta$ eine komplexe Nullstelle mit der Vielfachheit $k$ ist, dann ist auch $\lambda_j = \alpha - i\beta$ eine komplexe Nullstelle mit der Vielfachheit $k_j$. Unabhängige Lösung ist gegeben durch $e^{\alpha x} \cos (\beta x),xe^{\alpha x}\cos (\beta x), x^2e^{\alpha x} \cos (\beta x),\dots,x^{k-1}e^{\alpha x}\cos (\beta x)$ und $e^{\alpha x} \sin (\beta x),xe^{\alpha x}\sin (\beta x), x^2e^{\alpha x} \sin (\beta x),\dots,x^{k-1}e^{\alpha x}\sin (\beta x)$ \end{itemize} Die allgemeine Form (\textbf{inhomogen}) ist: \begin{gather*} y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0(x)y = s(x) \qquad a_0,\dots,a_{n-1} \in \mathbb{R} \end{gather*} Zur Lösung kann die Variation der Konstanten verwendet werden oder bei speziellen $s(x)$ verschiedene unbestimmte Ansätze, z.B.: \begin{gather*} s(x) = (c_0 + c_1x + \dots + c_m^m)e^{\mu x}, \qquad \mu \in \mathbb{R}\\ \text{Ansatz} \qquad y_p(x) = (A_0 + A_1x + \dots + A_mx^m)e^{\mu x} \end{gather*} $\mu$ ist die Lösung des aus der zugehörigen homogenen DGL resultierenden charakteristischen Polynoms $P(\lambda)$. Wenn $\mu$ eine $k$-fache Nullstelle ist, so tritt der Resonanzfall auf und es gilt: \begin{gather*} \qquad y_p(x) = (A_0 + A_1x + \dots + A_mx^m)e^{\mu x}x^k \end{gather*} Anderes Beispiel: \begin{gather*} s(x) = (c_0 + c_1x + \dots + c_m^m)e^{\alpha x} \cos (\beta x)\\ s(x) = (c_0 + c_1x + \dots + c_m^m)e^{\alpha x} \sin (\beta x)\\ \text{Ansatz} \qquad y_p(x) = (A_0 + A_1x + \dots + A_mx^m)e^{\alpha x} \cos (\beta x) +\\ (A_0 + A_1x + \dots + A_mx^m)e^{\alpha x} \sin (\beta x) \end{gather*} (Falls $\alpha + i\beta$ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms $P(\lambda)$ ist) \begin{gather*} \text{Ansatz} \qquad y_p(x) = x^k(A_0 + A_1x + \dots + A_mx^m)e^{\alpha x} \cos (\beta x) +\\ x^k(A_0 + A_1x + \dots + A_mx^m)e^{\alpha x} \sin (\beta x) \end{gather*} (Falls $\alpha + i\beta$ $k-$fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms $P(\lambda)$ ist) \section{Lösen von DGL mittels Laplace-Transformation} Gegeben ist eine Funktion $f(t) \, \, [0,\infty) \,\, \rightarrow \,\, \mathbb{R}$. Falls das uneigentliche Integral für zumindest ein $s \in \mathbb{R}$ existiert, dann heißt $F(s)$ (Bildfunktion) die \textbf{Laplace-Transformierte (L-transformierte)} von $f(t)$ (Zeitfunktion): \begin{gather*} \mathbf{F(s) = \mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_0^\infty f(t) \, dt} \end{gather*} Der \textbf{Existenz- und Eindeutigkeitssatz für L-transformierte}: \begin{itemize} \item Ist die Funktion $f: \, [0,\infty) \, \, \rightarrow \, \, \mathbb{R}$ auf beschränkten Intervallen stückweise stetig (d.h. sie besitzt in Intervallen nur endlich viele Sprungstellen) und $f(t)$ hat höchstens exponentielles Wachstum, d.h. es existieren Konstanten $M,\delta > 0$ \begin{gather*} |f(t)| \leq Me^{\delta t}, \qquad t \geq 0 \end{gather*} dann gilt: \begin{itemize} \item $F(s) = \mathcal{L} \{f(t)\}$ existiert für alle $s > \delta$ \item Das uneigentiche Integral $\int_0^\infty f(t) \, dt$ konvergiert für alle $s \geq s_0 > \delta$ gleichmässig \item $f(t)$ ist durch $F(s)$ eindeutig bestimmt (bis auf die Sprungstellen). Die Rücktransformierbarkeit ist daher gewährleistet \item $\lim_{s\rightarrow\infty} F(s) = 0$ \end{itemize} \end{itemize} Es gibt allerdings auch $\mathcal{L}$-transformierbare Funktionen, die o.g. Bedingungen nich vollständig genügen. \end{document}