TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/6.VO LaTeX

 %-------------------------------------------------  % Created by Markus Diem, Markus Nemetz  %------------------------------------------------- \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} %umlaute \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[bf]{caption} \usepackage[pdfborder= 0]{hyperref} %links zu refs ohne rahmen \usepackage{dsfont} %fuer angabe der rationalen zahlen etc. \renewcommand{\captionfont}{\footnotesize} \setlength{\belowcaptionskip}{3pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} %abstand beim brechen der formeln  %**************************************************  % spezifische Makros  %************************************************** \newcommand{\real}{\mathds{R}} \newcommand{\definition} {\textbf{Definition: }} \newcommand{\bsp} {\textbf{Beispiel: }} \title{\textbf{Mathematik III} \linebreak \large{Vorlesung 6, 10.11.2006}} \author{Markus Nemetz} \date{November 2006} \DeclareGraphicsExtensions{.eps} \setcounter{MaxMatrixCols}{11} \begin{document} \maketitle \section{Vorbemerkung} Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt. Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den Übungsbeispielen, die in ausgearbeiteter Form jeweils nach der Übungsrunde auf \emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind. \begin{flushright} Markus Nemetz 14.11.2006 \end{flushright} \section{L-Transformation (Forts.)} $f(t)$ ist der Zeitbereich. Es gilt: \begin{gather*} \mathcal{L} \{f(t)\} =: F(s) = \int_0^\infty e^{-s\cdot t}\cdot f(t) \, \partial t \end{gather*} Inverse Transformation $\mathcal{L}^{-1} \{F(s)\}$ \begin{center} \begin{array}{|c|c|}  % after \\ \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ... \hline $f(t)$ & $F(s)$ \\ \hline $e^{a\cdot t}$ & $\frac{1}{s}$ \\ \hline $\cos(\omega \cdot t)$ & $\frac{s}{s^2 + \omega^2}$ \\ \hline $\cos(\sin \cdot t)$ & $\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ \\ \hline \end{array} \end{center} Beispiel: \begin{gather*} e^{a\dot t} \qquad a = \alpha + i\cdot \beta \qquad\\ F(s) = \int_0^\infty e^{a\cdot t} \cdot e^{-s\cdot t} \, \partial t = \int_0^\infty e^{(a-s)\cdot t} \partial_t = \frac{\overbrace{e^{(a-s)\cdot t}}^{\text{wenn } a-s < 0 \text{ dann ok}}}{a-s}|_0^\infty = \\ \lim_{t \rightarrow \infty} \underbrace{\frac{e^{(a-s)\cdot t}}{a-s}}_{\rightarrow 0} - \frac{1}{a-s} = \frac{1}{s-a}\\ \text{ }\\ \cos (\omega \cdot t), \sin (\omega \cdot t): \, \, \text{setze } \, a= 0 + i \cdot \omega\\ e^{i\omega t} = \cos (\omega \cdot t) + i \cdot \sin (\omega \cdot t)= \dots \end{gather*} \textbf{Rechenregeln} ($f(t)$, $g(t)$ - Zeitfunktion $\overbrace{\longrightarrow}^{\mathcal{L}} F(s), G(s)$ \begin{itemize} \item \emph{Linearität} \begin{gather*} \mathcal{L} \{\alpha \cdot f(t) + \beta \cdot g(t) \} = \alpha \cdot \mathcal{L} \{f(t)\} + \beta \cdot \mathcal{L} \{g(t)\}= \alpha \cdot F(s) + \beta \cdot G(s) \end{gather*} Beispiel: \begin{gather*} \cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \\ \mathcal{L} \{\cosh t \} = \frac{1}{2} \mathcal{L} \{e^t\} + \frac{1}{2} \mathcal{L} \{e^{-t}\} = \frac{1}{2}\frac{1}{s-1} + \frac{1}{2}\frac{1}{s+1}= \frac{s}{s^2-1}\\ \text{ }\\ \sinh t = \frac{e^t - e^{-t}}{2} \qquad \text{analog} \end{gather*} \item \emph{Streckung} \begin{gather*} \mathcal{L} \{f(c\cdot t)\} = \frac{1}{c} \cdot F(\frac{s}{c}), c > 0 \end{gather*} Beweis: Variable im Integral substituieren \item \emph{Differentiation und Integration im Zeitbereich} \begin{gather*} \mathcal{L} \{f'(t) \} = s\cdot F(s) - \underbrace{f(0^+)}_{\text{rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle } 0 } \end{gather*} Voraussetzungen: \begin{enumerate} \item $f$,$f'$ $\mathcal{L}$-transformierbar \item $f$ stetig auf $(0,\infty)$ \end{enumerate} \begin{gather*} \mathcal{L} \{f^{(n)} (t)\} = s^n \cdot F(s) - s^{n-1}\cdot f(0^+) - s^{n-2}\cdot f'(o^+) - \dots - f^{n-1}(0^+) \end{gather*} Voraussetzungen für die Integration analog denen von der Differentiation: \begin{gather*} \mathcal{L} \{ \int_0^t f(\tau ) \partial\tau \} = \frac{F(s)}{s} \end{gather*} \end{itemize} Beispiel: \begin{gather*} f(t) = t, \mathcal{L}\{t\} = ?\\ f'(t) = 1, \qquad \mathcal{L} \{f'(t)\} = s\cdot F(s) =\mathcal{L} \{1\} = \frac{1}{s}\\ s\cdot F(s) - f(0^+) = s \cdot F(s)\\ \Rightarrow \, \, F(s) \cdot s = \frac{1}{s} \, \, \Rightarrow \, \,F(s) = \frac{1}{s^2} \end{gather*} Analog: $f(t) =t^n, n = 1,2,3,\dots$ \begin{gather*} f^{(n)}(t) = n(n-1)(n-2)\dots1\cdot t^0 = n' \cdot t\\ \mathcal{L} \{f^{(n)}(t)\}=s^n\cdot F(s) \\ \mathcal{L} \{f^{(k)}(t)\}=n' \cdot \mathcal{L}\{1\} = n' \cdot \frac{1}{s}\\ \Rightarrow F(s)=\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n'}{s^{n+1}} \end{gather*} Weitere wichtige Eigenschaften: \begin{itemize} \item \emph{Differentiation und Integration im Zeitbereich} \begin{gather*} \mathcal{L} \{t \cdot f(t) \} = -\frac{\partial}{\partial s}F(s) = -F'(s)\\ \mathcal{L} \{t \cdot f(t) \} = (-1)^n \cdot \frac{\partial^n}{\partial s^n}F(s) = (-1)^n \cdot F^{(n)}(s)\\ \mathbf{\mathcal{L} \{ \frac{f(t)}{t} \} = \int_s^\infty F(u) \cdot \partial u} \end{gather*} Beispiel: \begin{gather*} \mathcal{L} \{t \cdot \sin (\omega t) \} = -\frac{\partial}{\partial s}\cdot F(s) = -\frac{\partial}{\partial s}\cdot \frac{\omega}{s^2+\omega^2}= \frac{2s}{(s^2-\omega^2)^2} \end{gather*} \item \emph{Dämpfung und Verschiebung} \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{verschiebung.eps} \end{center} \begin{gather*} \mathcal{L} \{ e^{-\mathbf{a}t} \cdot f(t) \} = F(s+a), \qquad f(t): [0,\infty] \rightarrow \mathbb{R}, a>0\\ \mathcal{L} \{f(t-a) \cdot u (t-a)\} = e^{-as}\cdot F(s) \\ u(t) \text{ ... Heavisidische Sprungfunktion} \end{gather*} \begin{center} \includegraphics[scale=0.8]{heaviside.eps} \end{center} \begin{gather*} u(t) = \begin{cases} 1 & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}\\ \mathcal{L} \{u(t-a)\} = e^{-as} \cdot \frac{1}{s} \end{gather*} Beispiel: $\mathcal{L}$-Transformation der Rechteckperiode $T$, Amplitiude $A$ ($T,A > 0$): \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{ltraforechteck.eps} \end{center} \begin{gather*} f(t) = [2A \sum_k=0^\infty (-1)^k u(t- \frac{nT}{2})] - A \end{gather*} Für jedes $t$ ist die Reihe nur eine endliche Reihe - $0 \leq t < \frac{T}{2}$, nur $n=0$ liefert: \begin{gather*} f(t)=2A\cdot\underbrace{(-1)^0}_{=1} \cdot \underbrace{u(t)}_{=1} - A = 2A - A = A \end{gather*} $\frac{T}{2} \leq t < T: n = 0$ und $n=1$ liefert: \begin{gather*} f(t)=2A\cdot\underbrace{(-1)^0}_{=1} \cdot \underbrace{u(t)}_{=1} + 2A(-1)^1 \cdot u(t-\frac{T}{2}) - A = 2A - 2A - A = -A\\ \text{ }\\ \mathcal{L} \{ f(t)= \} = 2A \mathcal{L} \{ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot u(t-\frac{nT}{2})\} - A \cdot \mathcal{L} \{ 1 \} =\\ 2A \int_0^\infty e^{-st} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n u(t-\frac{nT}{2}) \partial t - \frac{A}{s} =\\ 2A \int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty e^{-st}(-1)^n u(t-\frac{nT}{2}) \partial t - \frac{A}{s} =\\ 2A \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty e^{-st}(-1)^n u(t-\frac{nT}{2}) \partial t - \frac{A}{s} \blacksquare \end{gather*} $\blacksquare \,$ Darf man hier machen, ist aber i.A. \emph{nicht}erlaubt! \item \emph{Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen} Definition: Eine Funktionenfolge $f_0(x)$, $f_1(x), \dots$ heisst auf einem Intervall $I \subseteq \mathbb{R}$ gleichmässig konvergent gegen eine Funktion $f(x)$, wenn $\forall \epsilon > 0$ ein von $x$ unabhängiger Index $N = N_\epsilon > 0$ existiert, sodass \begin{gather*} n \geq N: |f_n(x) - f(x)| \leq \epsilon, \forall x \in I \end{gather*} Satz: Wenn $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ gleichmässig auf $I$ gegen $f(x)$ konvergiert, dann gilt: \begin{gather*} \lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f(n) \, \partial x = \int_a^b \lim_{n \rightarrow \infty} f(n) \, \partial x = \int_a^b f(n) \, \partial x \end{gather*} Betrachten Reihe: \begin{gather*} \int_a^b \sum_{k=0}^\infty f_k(x) \partial x = \sum_{k=0}^\infty \int_a^b f_k(x) \partial x \end{gather*} Integration und Summation einer Reihe $\sum_{k=0}^\infty$ dürfen vertauscht werden, wenn die Folge der Partialsummen \begin{gather*} s(n) (x) = \sum_{k=0}^\infty f_k(x) \end{gather*} gleichmässig gegen \begin{gather*} s(n) (x) = \sum_{k=0}^\infty f_k(x) \end{gather*} konvergiert. \item \emph{Weierstrass'scher M-Test} Für gleichmässige Konvergenz von Funktionenreihen $\sum_{n=0}^\infty f_k(x)$: Wenn für jede Funktion $f_k(x)$ ein Wert $M \geq 0$ angegeben werden kann, sodass \begin{gather*} |f_k(x)| \leq M_k \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{gather*} und $\sum_{n=0}^\infty M_k < \infty$, dann folgt daraus: Reihe $\sum_{n=0}^\infty f_k(x)$ konvergiert gleichmässig auf $I$. \begin{gather*} \mathcal{L} \{ f(t) \} = 2A \int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty e^{-st}\cdot(-1)^n \cdot u(t - \frac{n\cdot T}{2})\partial t - \frac{A}{s} = \blacksquare \end{gather*} $\int$ und $\sum$ sind wegen gleichmässiger Konvergenz vertauschbar. \begin{gather*} f_k(t) = e^{-st}\cdot (-1)^k \cdot u(t-\frac{k\cdot T}{2})\\ |f_k(t)| = |\underbrace{e^{-st}}_{s > 0}|\cdot (-1)^k \cdot u(\underbrace{t-\frac{k\cdot T}{2}}_{\text{Sprungfunktion}}) \leq |e^{-s\cdot \frac{k\cdot T}{2}}|= e^{-s\cdot \frac{k\cdot T}{2}} = M_k\\ t = \frac{K\cdot t}{2}, \qquad 0 \leq t < \frac{K\cdot T}{2}\,\, \Rightarrow u(t-\frac{K\cdot T}{2})=0\\ \sum_{n=0}^\infty M_k = \sum_{n=0}^\infty {(e^{\frac{-st}{2}})}^k = \frac{1}{1 - e^{\frac{-st}{2}}}< \infty, s > 0 \, \surd \end{gather*} Fortsetzung bei $\blacksquare$: \begin{gather*} 2A \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty e^{-st}(-1)^k - u(t-\frac{kT}{2})\partial t - \frac{A}{s} =\\ 2A \sum_{n=0}^\infty (-1)^k - \mathcal{L}\{u(t-\frac{kT}{2})\} - \frac{A}{s} =\\ 2A \sum_{n=0}^\infty (-1)^k - e^{-\frac{Ts}{2}} - \frac{1}{s} - \frac{A}{s} =\\ \frac{2A}{s} \sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{Ts}{2}} - \frac{A}{s} = \frac{2A}{s} \frac{1}{1+e{-\frac{Ts}{2}}} - \frac{A}{s}\\ \frac{A}{s} \cdot (\frac{2}{1+e{-\frac{Ts}{2}}} - 1) = \frac{A}{s} \cdot \frac{1-e{-\frac{Ts}{2}}}{1+e{-\frac{Ts}{2}}} = \frac{A}{s} \tanh (\frac{sT}{k}) \end{gather*} \item \emph{Faltung} \begin{gather*} (f \ast g)(t) = \int_0^t f(\tau ) \cdot g(t-\tau) \partial\tau \\ \mathcal{L} \{(f \ast g)(t) \} = F(s) \cdot G(s) \end{gather*} \item \emph{Umkehrformel} Gegegben $F(s)$ - gültig falls $F(\delta)$ existiert \begin{gather*} \underbrace{\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}}_{=f(t) \text{ falls stetig}}= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{(\delta + i\omega) \cdot t} \cdot F(\delta + i\omega) \partial\omega \end{gather*} \end{itemize} \end{document}