TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/7.VO LaTeX

 %-------------------------------------------------  % Created by Markus Diem, Markus Nemetz  %------------------------------------------------- \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} %umlaute \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[bf]{caption} \usepackage[pdfborder= 0]{hyperref} %links zu refs ohne rahmen \usepackage{dsfont} %fuer angabe der rationalen zahlen etc. \renewcommand{\captionfont}{\footnotesize} \setlength{\belowcaptionskip}{3pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} %abstand beim brechen der formeln  %**************************************************  % spezifische Makros  %************************************************** \newcommand{\real}{\mathds{R}} \newcommand{\definition} {\textbf{Definition: }} \newcommand{\bsp} {\textbf{Beispiel: }} \title{\textbf{Mathematik III} \linebreak \large{Vorlesung 7, 17.11.2006}} \author{Markus Nemetz} \date{November 2006} \DeclareGraphicsExtensions{.eps} \setcounter{MaxMatrixCols}{11} \begin{document} \maketitle \section{Vorbemerkung} Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt. Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den Übungsbeispielen, die in ausgearbeiteter Form jeweils nach der Übungsrunde auf \emph{https://vowi.fsinf.at/wiki/TU_Wien:Mathematik_3_UE_(diverse)} zu finden sind. \begin{flushright} Markus Nemetz 22.11.2006 \end{flushright} \section{Anwendungen der $\mathcal{L}$-Transformation} \subsection{AWP für lineare DGL mit konst. Koeffizienten} Vorteil: Die Anfangswerte werden sofort eingesetzt. Vorgangsweise: DGL $\mathcal{L}$-transformieren - ergibt eine lineare Gleichung für $X(s)$ (=$\mathcal{L}$-transformierbar); danach Lösung der Gleichung und R+cktransformation ($\mathcal{L}^{-1}$) mit \begin{itemize} \item Rechenregeln \item Tabellen \end{itemize} Beispiel: \begin{gather*} \ddot{x}(t) + 4x(t) = \sin(\omega t), \qquad \omega > 0, \,\, x(0)=c_1, \dot{x}=c_2 \end{gather*} $\mathcal{L}$-transformieren: \begin{gather*} \mathcal{L}\{x(t)\} := X(s)\\ \mathcal{L}\{\ddot{x} + 4x \} = \mathcal{L}\{ \sin (\omega t)\}\\ \mathcal{L}\{\underbrace{\ddot{x}}_{\square}\} + 4\mathcal{L}\{\underbrace{x}_{\blacksquare}\} = \mathcal{L}\{ \underbrace{\sin (\omega t)}_{\lozenge}\}\\ \square \qquad s^2X(s) - s\underbrace{x(0)}_{c_1} - \underbrace{x(0)}_{c_2}\\ \blacksquare \qquad 4X(s)\\ \lozenge \qquad \frac{\omega}{\omega^2 + s^2}\\ \square + \blacksquare = \lozenge\\ X(s)(s^2 + 4) = \frac{\omega}{\omega^2 + s^2}\\ X(s) = \frac{1}{s^2 + 4}[ \frac{\omega}{\omega^2 + s^2} + c_1s + c_2]=\\ \frac{c_1s}{s^2+4} + \frac{\mathbf{2}c_2}{\mathbf{2(s^2+4)}}+\frac{\omega}{\omega^2 + s^2}\\ x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = c_1\cos (2t) + \frac{c_2}{\mathbf{2}}\sin(2t) + \begin{cases}\frac{1}{2(\omega^2 -4)}(\omega\sin (2t) - 2\sin(\omega t)) & \omega \neq 2 \\\frac{1}{8}(\sin (2t) - 2t\cos(2t)) & \omega = 2 \blacklozenge \end{cases}\\ \blacklozenge \qquad \text{Resonanzfall, s. Vachenauer 2, S.72} \end{gather*} \subsection{AWP für lineare DGL mit nichtkonstanten Koeffizienten} I.A. liefert die $\mathcal{L}$-Transformation keine Erleichterung, in Spezialfällen jedoch eine 'einfachere' DGL im Bildbereich. Beispiel: \begin{gather*} t\ddot{x} - x = 0 \end{gather*} Ist eine DGL 2. Ordnung im Zeitbereich, $\mathcal{L}\{x(t)\}  := X(s)$: \begin{gather*} \mathcal{L}\{t\ddot{x} - x\} = \mathcal{L}\{t\ddot{x}\} - \mathcal{L}\{x\} = -\frac{\partial}{\partial s} \mathcal{L}\{\ddot{x}\} - [sX(s) - x(0)]=\\ -\frac{\partial}{\partial s} (s^2X(s) - sx(0) - x(0)) - sX(s) + x(0) = \\ 2sX(s) - s^2X'(s) + x(0) - sX(0) + x(0) =0\\ -s^2X'(s) - 3sX(s) = -2x(0)\\ x'(s) + \frac{3}{s}X(s) = \frac{2x(0)}{s^2}\\ \text{DGL 1.Ordnung im Bildbereich}\\ X(s)=\frac{x(0)}{s} + \frac{C}{s^3}, \qquad C \in \mathbb{R}\\ x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = x(0) + \frac{c}{2}t^2 \end{gather*} \subsection{Elektrische Schaltungen (RCL-Schwingkreis)} Schalelemente: Widerstand, Kondensator, Spule Spannung $u(t)=u_R(t) + u_C(t) + u_L(t)$ (Kirchhoff'sche Regel) \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{RCL.eps} \end{center} Stromstärke $i(t)$, $i(0)=0$ $I(s) = \mathcal{L}\{i(t)\}$, $U(s) = \mathcal{L}\{u(t)\}$ \begin{center} \begin{array}{|c|c|} \hline  % after \\ \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ... Zeitbereich & Bildbereich \\ \hline $u_R(t) = Ri(t)$ & $U_R(s) = RI(s)$ \\ $u_C(t) = \frac{1}{C}\int_0^t i(\tau) \partial \tau$ & $U_c(s) = \frac{1}{C} \cdot \frac{I(s)}{s} ) \frac{1}{cs}I(s)$ \\ $u_L(t) = Li(t)$ & $U_L(s) = LsI(s)$ \\ \hline \end{array} \end{center} Im Bildbereich gilt das Ohmsche Gesetz: \begin{gather*} U(s) = H(s) \cdot I(s) \qquad \text{mit} \qquad H(s) = R + \frac{1}{cs} + Ls \end{gather*} Nach Lösung im Bildbereich Rücktransformation notwendig. \subsection{Lösen von Integralgleichungen} Integralgleichungen sind Funktionalgleichungen, in denen die gesuchte Funktion als Integrand in einem best. Integral vorkommt. Best. Integralgleichungstyp: \begin{gather*} y(t) + \int_0^t \kappa(\tau) y(t-\tau) \partial\tau = f(t)\\ f(t), g(t), \qquad \underbrace{(f \ast g)(t) = \int f(\tau) \cdot g(t-\tau) \partial t}_{\text{Faltung}} \end{gather*} $\mathcal{L}$-Transformierte: \begin{gather*} Y(s) + \kappa(s) \cdot Y(s) = F(s) \qquad \Rightarrow \qquad Y(s) = \frac{F(s)}{1+\kappa(s)} \end{gather*} Voraussetzung: $y$,$\kappa$,$f$ müssen $\mathcal{L}$-transformierbar sein. Beispiel: \begin{gather*} y(t) + \int_0^t y(\tau) \sin(t-\tau) \partial\tau = 1\\ Y(s) + \frac{1}{s^2 + 1}\cdot Y(s) = \frac{1}{s}\\ Y(s) = \frac{1}{s(1+\frac{1}{s^2+1})} = \underbrace{\frac{s^2 + 1}{s(s^2+s)}}_{\bigstar} \,\, \blacktriangleright\\ \bigstar \qquad \text{Partialbruchzerlegung} \\ \frac{s^2 + 1}{s(s^2+2} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2+2}\\ s^2 + \mathbf{1} = A(s^2+2) + (Bs+C) = (A+B)s^2 + Cs + \mathbf{2A}\\ 1 = 2A \qquad \Rightarrow \qquad A = \frac{1}{2}\\ 0 = Cs \qquad \Rightarrow \qquad C = 0\\ 1 = A + B \qquad \Rightarrow \qquad B = \frac{1}{2}\\ \blacktriangleright \qquad = \frac{1}{s} + \frac{s}{2(s^2+s)}\\ y(t)=\mathcal{L}^{-1}(Y(t)) = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{2s}\} + \mathcal{L}^{-1}\{\frac{s}{2(s^2 + 2)}\}=\mathbf{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(\sqrt{2}t)} \end{gather*} \section{RWA, RWP: Randwertaufgaben, -probleme} Definition: Treten in der Bestimmungsgleichung für die eindeutige Charakterisierung der Lösung einer DGL Auswertungen der gesuchten Funktion und deren Ableitungen nicht nur an einer Stelle (wie beim AWP), sondern an zwei Stellen $a \neq b$ auf, dann spricht man von einer \textbf{Randwertaufgabe (RWA)} bzw. von einem \textbf{Randwertproblem (RWP)}. Allgemeines Prinzip zur Lösung von RWA/RWP: \begin{itemize} \item Auffinden der allgemeinen Lösung der gegebenen DGL (mit Parametern $c_1, c_2, \dots, c_n$) \item Anpassen der Koeffizienten $c_1, c_2, \dots, c_n$ durch Einsetzen der Randbedingungen in die allgemeine Lösung \end{itemize} $\Rightarrow \qquad$ Gleichungssystem $c_1, c_2, \dots, c_n$ Spezialfall: DGL ist linear und Randbedingungen sind auch Linear $\qquad \Rightarrow \qquad$ Lineares Gleichungssystem für $c_1, c_2, \dots, c_n$. Falls nichtlineare RWA/RWP, so ist das Problem i.A. wesentlich komplizierter. Beispiel: Biegebalken \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{Biegebalken_1.eps} \end{center} $y(x)$ ist dabei die Auslenkung (Elongation) an der Stelle $x$. Die das Modell beschreibende DGL für $y(x)$ lautet (vereinfacht): \begin{gather*} y''(x) = -\frac{M(x)}{E(x)} = -b(x) \end{gather*} Deren allgemeine Lösung ist: \begin{gather*} y(x) = c_1x + c_2 - \int_0^x\int_0^\xi b(\eta)d\eta d\xi \end{gather*} Betrrachten RWA: Träger fest aufliegend \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{Biegebalken_2.eps} \end{center} Am Ende fest - daraus folgt: $y(0) = 0$, $y(l)=0$. Einsetzen de Randbedingungen: \begin{gather*} 0 = y(0) = c_1 \cdot 0 - c_2 - \underbrace{y_p(0)}_{=0} \qquad \Rightarrow \qquad c_2 = 0\\ 0 = y(l) = c_1 \cdot l + \underbrace{c_2}_{=0} - y_p(l) \qquad \Rightarrow \qquad c_1 = \frac{y_p(l)}{l} \end{gather*} $\Rightarrow \qquad$ egal wie $M(x)$, $E(x)$ gewählt werden - die RWA hat immer eine eindeutige Lösung. RWA: an Enden eingespannt \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{Biegebalken_3.eps} \end{center} Es gilt: $y'(0) = \varphi_1$, $y'(l) = \varphi_2$ Allgemeine Lösung: \begin{gather*} y(x) = c_1x + c_2 - y_p(x) \end{gather*} Zwei Gleichungen ($I$,$II$): \begin{gather*} I: \qquad \varphi_1 = y(0) = c_1 - \underbrace{y_p'(0)}_{=0} = c_1\\ II: \qquad \varphi_2 = y(l) = c_1 - y_p'(l) = c_1 - y_P'(l)\\ y_p(x) = \int_0^x\int0^\xi b(\eta)\partial\eta\partial\xi\\ y_p'(x) = \int_0^x b(\eta) \partial\eta \end{gather*} Es sind zwei fälle zu Unterscheiden: $c_1 = \varphi_1$, $c_1 = \varphi_2 + y_p'(l)$: \begin{enumerate} \item $\varphi_1 \neq \varphi_2 + y_p'(l)$ - keine Lösung \item $\varphi_1 = \varphi_2 + y_p'(l)$ - unendlich viele Lösungen weil $c_2$ frei wählbar. \end{enumerate} Daraus folgt: \textbf{Es kann keinen EE-Satz für RWA/RWP geben!} Vergleiche hierzu Lineare Gleichungssysteme: $n$ Gleichungen für $n$ Unbekannte - $A\cdot\vec{x} = \vec{b}$ \begin{itemize} \item $det \, A \neq 0$ - LGS mit Lsg. für jedes $\vec{b}$ \item $det \, A = 0$ - LGS hat entweder unendlich viele Lösungen oder keine. \end{itemize} \subsection{Lineare RWA} Lineares DGL: $L[y] = y(x)^{n} + a_{n-1}\cdot y(x)^{n-1} + a_{n-2}\cdot y(x)^{n-2} + \dots + a_0\cdot y(x) = b(x)$. Lineare Randbedingungen: $n$ Gleichungen (Stelle $a$): \begin{gather*} \dot{x} = A(t) + b(t)\\ Rx(a) + Sx(b) = R, \qquad \text{Rang}(R,S) = n \end{gather*} Klassifikation: \begin{itemize} \item inhomogene lineare RWA: $b(x) \neq 0 \wedge r \neq 0$ \item vollhomogene lineare RWA: $b(x) = 0 \wedge r = 0$ \item halbhomogene lineare RWA: $b(x) = 0 \vee r = 0$ \end{itemize} Bemerkung: Vollhomogene RWP besitzen immer die triviale Lösung $x(t)=0$. Das halbhomogene RWP muss i.A. keine Lösung haben. Jede Lösung (soferne existent) $y(x)$ des inhomogenen RWP lässt sich wie folgt schreiben (folgt dem Superpositionssatz): \begin{gather*} y(x) = y_h(x) + y_p(x) \end{gather*} Wobei $y_p(x)$ die spezielle Lösung des inhomogenen RWP ist ist; $y_h(x)$ eine Lösung des vollhomogenen RWP. \end{document}