TU Wien:Mathematik 3 VO (Panholzer)/Mitschrift WS06/8.VO LaTeX

 %-------------------------------------------------  % Created by Markus Diem, Markus Nemetz  %------------------------------------------------- \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} %umlaute \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[bf]{caption} \usepackage[pdfborder= 0]{hyperref} %links zu refs ohne rahmen \usepackage{dsfont} %fuer angabe der rationalen zahlen etc. \renewcommand{\captionfont}{\footnotesize} \setlength{\belowcaptionskip}{3pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} %abstand beim brechen der formeln  %**************************************************  % spezifische Makros  %************************************************** \newcommand{\real}{\mathds{R}} \newcommand{\definition} {\textbf{Definition: }} \newcommand{\bsp} {\textbf{Beispiel: }} \title{\textbf{Mathematik III} \linebreak \large{Vorlesung 8, 24.11.2006}} \author{Markus Nemetz\\basierend auf den Aufzeichnungen von Michael Birsak} \date{Dezember 2006} \DeclareGraphicsExtensions{.eps} \setcounter{MaxMatrixCols}{11} \begin{document} \maketitle \section{Vorbemerkung} Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lekt{\"u}re gebracht - sie sind hier nicht angef{\"u}hrt. Die z.T. gerafften Zusammenstellungen sind z.T. auch die jeweiligen theoretischen Grundlagen zu den {\"U}bungsbeispielen, die in ausgearbeiteter Form jeweils nach der {\"U}bungsrunde auf \emph{http://wikiserver.fsinf.at/mathe3/} zu finden sind. \begin{flushright} Markus Nemetz 03.12.2006 \end{flushright} \section{RWP - Alternativsätze} Fall: halbhomogenes lineares RWP: \begin{itemize} \item homogene lineare DGL: $L[y] := y^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \dots + a_0y(x) = 0$ \item inhomogene lineare Randbedingung: $R=\vec{y}(a) + S\vec{y}(b) = \vec{p}$ \begin{gather*} \vec{y}(x)=\begin{pmatrix} y(x) \\ y'(x) \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(x) \\ \end{pmatrix} \end{gather*} \end{itemize} Allg. Lsg. der homogenen linearen DGL ($\varphi_1,\dots,\varphi_n$ Lösungsbasis): \begin{gather*} y(x) + c_1\varphi_1(x) + c_2\varphi_2(x) + \dots + c_n\varphi_n(x)\\ \vec{\varphi}_i(x) = \begin{pmatrix} \varphi_i(x) \\ \varphi_i'(x) \\ \vdots \\ \varphi_i^{(n-1)}(x) \\ \end{pmatrix}\\ \Rightarrow \,\, R(c_1\vec{\varphi}_1(a) + c_2\vec{\varphi}_2(a)+ \dots + c_n\vec{\varphi}_n(a)) + \\S(c_1\vec{\varphi}_1(b) + c_2\vec{\varphi}_2(b)+ \dots + c_n\vec{\varphi}_n(b)) = \vec{p}\\ = R \Phi(a) \vec{c} + S \Phi(b) \vec{c} = \vec{p} \qquad \text{wobei}\\ \Phi(x) = (\vec{\varphi}_1(x) \, | \, \vec{\varphi}_2(x) \, | \, \dots \, | \, \vec{\varphi}_n(x)) = \begin{pmatrix} \varphi_1(x) & \varphi_2(x) & \cdots & \varphi_n(x) \\ \varphi_1'(x) & \varphi_2'(x) & \cdots & \varphi_n'(x) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \varphi_1^{(n-1)}(x) & \varphi_2^{(n-1)}(x) & \cdots & \varphi_n^{(n-1)}(x) \\ \end{pmatrix}\\ \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \\ \end{pmatrix}\\ \Rightarrow \, \text{ LGS } \, \underbrace{[R\Phi(a) + S\Phi(b)]}_{\text{D}}\cdot \vec{c} = \vec{p} \qquad \mathbf{D \cdot \vec{c} = \vec{p}} \end{gather*} LGS ist mit $n$ Unbekannten $c_1, \dots, c_n$ und $n$ Gleichungen sowie mit $n\times n$ Matrix $D$. \begin{itemize} \item $\operatorname{det} \, D \neq 0$ - LGS für alle $\vec{p}$ eindeutig lösbar \item $\operatorname{det} \, D = 0$ - LGS hat entweder keine oder unendlich viele Lsg. \end{itemize} \textbf{Alternativsatz}: Gegeben sei ein halbhomogenes lineares RWP $L[y]=0$, $R\cdot\vec{y}(a) + S\cdot\vec{y}(b)=\vec{p}$. Seien $\varphi_1(x), \dots, \varphi_n(x)$ eine Lösungsbasis der zugehörigen homogenen DGL und sei $D:=R\cdot\Phi(a) + S\cdot\Phi(b)$, $\Phi$ definiert wie oben (=Fundamentalmatrix), dann gilt: \begin{enumerate} \item Ist $\operatorname{D} \neq 0$, dann besitzt das halbhomogene RWP eine eindeutige Lösung für alle $\vec{p}$. \item Ist $\operatorname{D} = 0$, dann besitzt das halbhomogene RWP genau dann eine eindeutige Lösung wenn $\operatorname{rg} \, D = \operatorname{rg}(D,\vec{p})$. \item Das entsprechende vollhomogene RWP, d.h. für $\vec{p}=\vec{0}$, besitzt genau dann nichttriviale Lsg. $y(x) \neq 0$, falls $\operatorname{det} \, D = 0$. \end{enumerate} Bemerkung zum inhomogenen RWP $L[y] = b(x), R\cdot\vec{y}(a) + S\cdot\vec{y}(b)=\vec{p}$: Allgemeine Lösun der zugehörigen inhomogenen DGL ist gegeben durch \begin{gather*} y(x) = c_1\cdot\varphi_1(x) + c_2\cdot\varphi_2(x) + \dots + c_n\cdot\varphi_n(x) + y_p(x) \end{gather*} $y_p(x)$ ist die Partikulärlösung. Anpassen an Randbedingungen liefert wiederum LGS der Gestalt \begin{gather*} D \cdot \vec{c}=\vec{q}\\ D = R \cdot \Phi(a) + S \cdot \Phi(b)\\ \vec{q} = \vec{p} - R\cdot \vec{y}_p(a) - S\cdot \vec{y}_p(b) \end{gather*} \textbf{Alternativsatz}: Entweder ist das inhomogene RWP für alle $b(x)$ und $\vec{p}$ eindeutig lösbar (falls $\operatorname{det} \, D \neq 0$), oder das entsprechende vollhomogene RWP, d.h. $b(x) = 0 \, \, \wedge \,\, \vec{p}=\vec{0}$, besitzt nichttriviale Lösung (falls $\operatorname{det} \, D = 0$).\\ Beispiel: $y'' + \omega^2y = c$, $y(0)=p_1$, $y(\pi)=p_2$. Diese homogene DGL mit konstanten Koeffizienten beistzt die charakteristische Gleichung $\lambda^2 + \omega^2 = 0$ mit den Lösungen $\lambda=\pm i \cdot \omega$ (konjugiert komplex). Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGl lautet somit: \begin{gather*} y_h(t) = c_1 \cdot \sin(\omega t) + c_2 \cdot \cos(\omega t)\\ \underbrace{R=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\text{linker Rand}}, \qquad \underbrace{S=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\text{rechter Rand}}\\ \underbrace{\begin{bmatrix} 1 \cdot y(0) & + & 0 \\ 0 \cdot y(0) & + & 0 \\ \end{bmatrix}}_{R}\begin{matrix} y'(0) + \\ y'(0) + \\ \end{matrix} \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \cdot y(\pi) & + & 0 \\ 1 \cdot y(\pi) & + & 0 \\ \end{bmatrix}}_{S}\begin{matrix} y'(\pi) = p_1 \\ y'(\pi) = p_2 \\ \end{matrix}\\ R\vec{y}(a) + S\vec{y}(b) = \vec{p}, \qquad \Phi(t) = \begin{pmatrix} \sin(\omega t) & \cos(\omega t) \\ \omega\cos(\omega t) & -\omega\sin(\omega t) \\ \end{pmatrix} \end{gather*} Berechnen nach Alternativsatz, betrachten \begin{gather*} D=R\Phi(0) + S\Phi(\pi)=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \omega & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sin(\omega t) & \cos(\omega t) \\ \omega\cos(\omega t) & -\omega\sin(\omega t) \\ \end{bmatrix} = \\ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \sin(\omega \pi) & \cos(\omega \pi) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 &10 \\ \sin(\omega \pi) & \cos(\omega \pi) \\ \end{bmatrix}\\ \operatorname{det} \, D = -\sin(\omega\pi) \end{gather*} Wann ist $\sin(\omega\pi)=0$? Wenn $\omega \in \mathbb{Z}$. Falls $\omega \not\in \mathbb{Z}$ besitzt das RWP für alle $p_1$ und $p_2$ eine eindeutige Lösung (da Determinante von $D$ nicht Null ist). Ist die Determinante 0 und $\omega \in \mathbb{Z}$, so gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen. \begin{gather*} D\cdot\vec{c}=\vec{p} \\ \begin{bmatrix} 0 & 1 & | & p_1 \\ \underbrace{\sin(\omega\pi)}_{=0} & \cos(\omega\pi) & | & p_2 \\ \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} 0 & 1 & | & p_1 \\ 0 & \cos(\omega\pi) & | & p_2 \\ \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} 0 & 1 & | & p_1 \\ 0 & 0 & | & p_2 - p_1 \cdot \cos(\omega\pi)\\ \end{bmatrix} \end{gather*} Daraus folgt: $p_2 - p_1 \cdot \cos(\omega\pi) = 0$ hat unendlich viele Lösungen, $p_2 - p_1 \cdot \cos(\omega\pi) \neq 0$ hat keine Lösung. \section{Lösen von RWP mit Hilfe der Green-Funktion} Gegeben: halbhomogenes lineares RWP: $L[y] := y^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \dots + a_0y(x) = b(x)$, $R\cdot\vec{y}(a) + S\cdot\vec{y}(b) = \vec{0}$. \textbf{Satz über die Green-Funktion von RWP}: Seien $\varphi_1(x), \dots, \varphi_n(x)$ eine Basis des Lösungsraumes der zugehörigen homogenen DGL $L[y]=0$, gelte für das halbhomogene RWP, dass $\operatorname{det} \, D = \operatorname{det}(R\Phi(a) + S\Phi(b))\neq 0$. Dann existiert für jede Störfunktion $b(x)$ eine eindeutige Lösung des RWP. Diese lässt sich darstellen als \begin{gather*} y(x) = \int_a^b g(x,\omega) \cdot b(\omega) \, d\omega, \end{gather*} wobei die sog. Green-Funktion $g(x,\omega): [a,b] \times [a,b] \Rightarrow \mathbb{R}$ folgende Eigenschaften besitzt: \begin{itemize} \item $g(x,\omega)$ erfüllt für jedes feste $\omega$ in Bezug auf $x (x\neq \omega)$ die homogene DGL, d.h. $L[g(x,\omega)]=0$ für alle $x \neq \omega$. \item $g(x,\omega)$ erfüllt für jedes feste $\omega$, $a <\omega<b$ die homogene Randbedingung, d.h.. \begin{gather*} R\vec{g}(a,\omega) + S\vec{b}(a,\omega) = \vec{0}, \qquad \text{wobei}\\ \vec{g}(x,\omega) = (g(x,\omega),g'(x,\omega),\dots,g^{(n-1)}(x,\omega)) \qquad \text{und}\\ g^{(k)}(x,\omega)=\frac{\partial^k}{\partial x^k} g(x,\omega) \end{gather*} \item Die Funktionen $g(x,\omega),g'(x,\omega),\dots,g^{(n-1)}(x,\omega)$ sind stetig auf $[a,b]\times[a,b]$. Die Funktion $g^{(n-1)}(x,\omega)$ existiert für $x\neq\omega$ und es gilt: \begin{gather*} g^{(n-1)}(x^+,x) - g^{(n-1)}(x^-,x)=1 \end{gather*} ($x^+$ ist der rechtsseitige, $x^-$ der linksseitige Grenzwert) \end{itemize} $g(x,\omega)$ heißt auch Einflussfunktion, weil sie den Einfluss der Störfunktion $b(\omega)$ zur Lösung $y(x)$ im Punkt $x$ angibt.\\ Bemerkung zum praktischen Rechnen: Erste Bedingung impliziert, dass $g(x,\omega)$ folgende Gestalt hat: \begin{gather*} g(x,\omega)=\begin{cases}c_1(\omega)\cdot\varphi_1(x) + c_2(\omega)\cdot\varphi_2(x)+ \dots + c_n(\omega)\cdot\varphi_n(x)& a \leq x \leq \omega \\d_1(\omega)\cdot\varphi_1(x) + d_2(\omega)\cdot\varphi_2(x)+ \dots + d_n(\omega)\cdot\varphi_n(x)&x < x \leq b \end{cases} \end{gather*} Beispiel: Biegebalken $y''(x) = b(x)$, $0 \leq x \leq l$, RB: $y(0)=0$, $y(l)=0$. Die Determinante $D$ ist nicht Null, daher existiert eindeutige Lösung. Homogene DGL $y''(x)=0$ - Allgemeine Lösung: $y(x)=cx+d$. Daraus folgt: $y'=c$. Ansatz Green-Funktion: \begin{gather*} g(x,\omega)=\begin{cases}\int c_1(\omega)x + c_2(\omega) & 0 \leq x \leq \omega\\ \int d_1(\omega)x + d_2(\omega) & \omega < x \leq l\end{cases} \end{gather*} Randbedingungen müssen erfüllt sein, wähle $\omega$ dest, $0 < \omega \leq l$: \begin{itemize} \item RB $y(0) = 0$ - $x=0$ - $c_1(\omega)x + c_2(\omega)=0$ - $c_2(\omega)=0$ \item RB $y(l) = 0$ - $x=l$ - $d_1(\omega)l + d_2(\omega)$ \end{itemize} Bei Stetigkeit von $g$ wähle $x=\omega$: Daraus folgt $c_1(\omega)\omega + c_2(\omega)= d_1(\omega)\omega + d_2(\omega)$. Die Differenz zwischen rechtsseitigem und linksseitigem Grenzwert ist 1, daraus folgt: \begin{gather*} g'(x,\omega)=\begin{cases}c_1(\omega), & 0 \leq x \leq \omega \\ d_1(\omega) & \omega < x \leq l\end{cases} \qquad d_1(\omega) - c_2(\omega)=1 \end{gather*} $c_2(\omega)=0$ - daher ist $c_1(\omega)=d_1(\omega)-1$: \begin{gather*} \omega(d_1(\omega) - 1)=d_1(\omega)\omega - d_1(\omega)l\\ d_1(\omega)(\omega-\omega+l)=\omega \qquad \Rightarrow \qquad d_1(\omega)=\frac{\omega}{l} \end{gather*} \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{vo8_biegebalken.eps} \end{center} $c_1(\omega) = d_1(\omega) - 1 = \frac{\omega}{l} - 1 = \frac{\omega-l}{l}$. $d_2(\omega)=-ld_1(\omega)=-\omega$ Somit gilt: \begin{gather*} g(x,\omega)=\begin{cases}\frac{\omega-l}{l}, & 0 \leq x \leq \omega \\ \frac{\omega}{l} & \omega < x \leq l\end{cases}\\ y(x)=\int_0^l g(x,\omega)\cdot(-b(\omega)) \, d\omega \end{gather*} \section{Eigenwertprobleme} Spezielle Randwertprobleme, die von einem Parameter $\lambda$ abhängen. Betrachte vollhomogenes lineares RWP. Die Existenz von nichttrivialer Lösung $y(x)=0$ hängt von der Wahl des Parameters $\lambda \in \mathbb{C}$ (oder $\lambda \in \mathbb{R}$) ab. \textbf{Definition}: Jeder Wert $\lambda$, für den das vollhomogene RWP nichttriviale Lösungen besitzt, heißt Eigenwert. Die zugehörigen nichtrivialen Lösungen $y(x)$ heißen Eigenfunktionen zum Eigenwert $\lambda$. Anmerkung: Aus dem Alternativsatz folgt: $\operatorname{det} \, D = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, \lambda$ ist Eigenwert.\\ Beispiel: 'Knickstab' - RWP: $y'' \lambda y = 0$, $y(0)=0$,$y(l)=0$. Uns interessieren die reellen Eigenwerte $\lambda > 0$ (Stab bricht). Betrachte zunächst $\lambda=0$. Die allgemeine Lösung der zugehörigen DGL ergibt sich aus $\alpha^2 + \lambda = 0$ mit $\alpha_{1,2}= \pm i \sqrt{\lambda}$. Die allgemeine Lösung ist somit: $y(x)=c_1\cos(\sqrt{\lambda}x) + c_2\sin(\sqrt{\lambda}x)$. \begin{gather*} \Phi(x)=\begin{bmatrix} \cos(\sqrt{\lambda}x) & \sin(\sqrt{\lambda}x) \\ -\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}x) & \sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}x) \\ \end{bmatrix}\\ D=R\Phi(0) + S\Phi(l) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{\lambda} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos(\sqrt{\lambda}x) & \sin(\sqrt{\lambda}x) \\ -\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}x) & \sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}x) \\ \end{bmatrix}=\\ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \cos(\sqrt{\lambda}l) & \sin(\sqrt{\lambda}l) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \cos(\sqrt{\lambda}l) & \sin(\sqrt{\lambda}l) \\ \end{bmatrix} \end{gather*} $\operatorname{det} \, D = \sin(\sqrt{\lambda}l) = 0$ - d.h. $\sqrt{\lambda}=k\pi$, $k=1,2,3,\dots$. Es gibt unendlich viele Eigenwerte: $\lambda_k=(\frac{k\pi}{l})^2$. Eigenfunktion: $D \cdot \vec{c} = \vec{0}$: \begin{gather*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \cos(\sqrt{\lambda}l) & \sin(\sqrt{\lambda}l)\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 0\\ \cos(\sqrt{\lambda}l) & 0& | & 0\\ \end{pmatrix} \qquad \Rightarrow \qquad c_1=0 \end{gather*} $c_2$ kann somit beliebig gewählt werden. Die zugehörige Eigenfunktion lautet somit: \begin{gather*} y_k=c_1\cdot\cos(\sqrt{\lambda}l) + c_2 \cdot \sin(\sqrt{\lambda}l)= \mathbf{c_2 \cdot \sin(\sqrt{\lambda}l)} \end{gather*} \end{document}