TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS14/Beispiel 96

Man berechne das Doppelintegral

$\int _{y=0}^{y=1}\int _{x=0}^{x={\sqrt {1-y}}}x^{2}{\sqrt {1-y}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$.

Welches Bereichsintegral wird dadurch gegeben? Man berechne das Integral auch bei vertauschter Integrationsreihenfolge.

Lösungsvorschlag

In der gegebenen Integrationsreihenfolge:

${\begin{aligned}&\int _{y=0}^{y=1}\left(\int _{x=0}^{x={\sqrt {1-y}}}x^{2}{\sqrt {1-y}}\,\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left(\left.{\frac {x^{3}{\sqrt {1-y}}}{3}}\right|_{x=0}^{x={\sqrt {1-y}}}\right)\mathrm {d} y\\&=-\int _{0}^{1}\left({\frac {({\sqrt {1-y}})^{4}}{3}}\right)\mathrm {d} y\\&=-{\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}({\sqrt {1-y}})^{2}\mathrm {d} y\\&=-{\frac {1}{3}}\left.\left({\frac {({\sqrt {1-y}})^{3}}{3}}\right|_{y=0}^{y=1}\right)\\&=-{\frac {1}{3}}*\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{9}}\end{aligned}}$

Bei vertauschten Integrationsreihenfolge:

$x={\sqrt {1-y}}\Rightarrow x^{2}=1-y\Rightarrow -y=x^{2}-1\Rightarrow y=1-x^{2}$

$1=1-x^{2}\Rightarrow x=0$

$0=1-x^{2}\Rightarrow x=1$