TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS16/Beispiel 154

Sei $f(t)$ eine auf $[0,T]$ stückweise stetige T-periodische Funktion $f(t)$. Man zeige, dass dann für die $f(t)$ gehörende Fourierreihe

$S_{f}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ik\omega t}\sim f(t)$

der folgende Verschiebungssatz (Verschiebungssatz im Frequenzbereich) gilt:

$e^{in\omega t}f(t)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k-n}e^{ik\omega t}$

Lösung

Man muss also zeigen, dass...

$g(t)=e^{in\omega t}\cdot f(t)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k-n}e^{ikwt}$

Einsetzen in die Fourierreihe ergibt:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Bigg [}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{in\omega t}e^{-ik\omega t}dt{\Bigg ]}$

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Bigg [}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-i\omega t(k-n)}dt{\Bigg ]}*e^{ik\omega t}$

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }C_{k-n}*e^{ik\omega t}$

Laut Panholzer geht es in diesem Beispiel um die Koeffizienten. Es ist nicht ganz schlüssig, Panholzer hat selbst lange überlegt, hat die Lösung aber dann so bestätigt.