TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS16/Beispiel 154

Sei $f(t)$ eine auf $[0,T]$ stückweise stetige T-periodische Funktion $f(t)$. Man zeige, dass dann für die $f(t)$ gehörende Fourierreihe

$S_f(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{ik\omega t}\sim f(t)$

der folgende Verschiebungssatz (Verschiebungssatz im Frequenzbereich) gilt:

$e^{in\omega t}f(t)\sim \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k-n}{e}^{ik\omega t}$

Lösung

Man muss also zeigen, dass...

$g(t)=e^{in\omega t}\cdot f(t)\sim \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k-n}{e}^{ikwt}$

Einsetzen in die Fourierreihe ergibt:

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{in\omega t}{e}^{-ik\omega t}dt]$

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-i\omega t(k-n)}dt]\ast e^{ik\omega t}$

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k-n}\ast e^{ik\omega t}$

Laut Panholzer geht es in diesem Beispiel um die Koeffizienten. Es ist nicht ganz schlüssig, Panholzer hat selbst lange überlegt, hat die Lösung aber dann so bestätigt.