TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS16/Beispiel 160

Sei $f(t)$ die $2\pi$-periodische Rechteckschwingung mit Amplitude 1: Auf dem Intervall $[0,2\pi )$ ist $f(t)$ definiert durch

$f(t)={\begin{cases}1,0\leq t<\pi \\-1,\pi \leq t<2\pi \\\end{cases}}$

und außerhalb durch $2\pi$-periodische Fortsetzung. Zeigen Sie, dass die Fourierreihe $S_{f}(t)$ von $f(t)$

Zusatz aus TUWEL von Prof. : Berechnen Sie die reelle Fourier-Reihe der gegebenen Funktion $f(t)$

Hilfreiches

Beispiel 8.20 im orangenen Mathebuch, Seite 356 (2. Auflage)

Es gilt:

$f(t)=-f(-t)\Rightarrow a_{n}=0,\forall n$

$f(t)=f(-t)\Rightarrow b_{n}=0,\forall n$

Lösung

Fourierreihe lautet:

$S_{f}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(b_{n}*\sin \left(n\omega t\right)\right)$

Aus der obigen "Regel" ist ${\frac {a_{0}}{2}}=0$ deshalb fällt der Koeffizient weg.

Jetzt müssen wir die Koeffizienten $b_{n}$ ausrechnen.

Es gilt (allgemein):

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }h(t)\cdot \sin \left(n\omega t\right)\mathrm {d} t\quad n\geq 1$

$\omega$ ist aufgrund der Grenzen $1$

Jetzt muss das Ganze integriert werden und die gegebenen Grenzen eingesetzt werden:

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}{\Bigg [}\int _{0}^{\pi }\sin \left(nt\right)\mathrm {d} t\quad +\int _{\pi }^{2\pi }\sin \left(nt\right)\mathrm {d} t\quad {\Bigg ]}$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}{\Bigg [}{\frac {-\cos(nt)}{n}}\mathop {\bigg |} _{0}^{\pi }+{\frac {\cos(nt)}{n}}\mathop {\bigg |} _{\pi }^{2\pi }{\Bigg ]}$

$b_{n}={\frac {1}{n}}\pi (-\cos(n\pi )+cos(0)+cos(2n\pi )-cos(n\pi ))$

$cos(0)=1$ und $cos(2n\pi )=1$

Daraus folgt: (Zusatz: $cos(n\pi )=(-1)^{n}$)

$b_{n}={\frac {1}{n\pi }}(2-2\cos(n\pi ))={\frac {2}{n\pi }}(1-(-1)^{n})$ für $={\begin{cases}0,n{\text{ gerade}}\\{\frac {4}{n\pi }},n{\text{ ungerade}}\\\end{cases}}$

Somit in die Fourierreihe einsetzen:

$S_{f}(t)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {4}{(2m+1)\pi }}*\sin((2m+1)*t)$

Diese Reihe konvergiert ...

• ... punktweise überall (bis auf die Unstetigkeitsstellen)
• ... gleichmäßig nur dort, wo es stetig ist.