TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS16/Beispiel 160

Sei $f(t)$ die $2\pi$-periodische Rechteckschwingung mit Amplitude 1: Auf dem Intervall $[0,2\pi )$ ist $f(t)$ definiert durch

$f(t)=\{\begin{array}{c}1,0\le t<\pi \\ -1,\pi \le t<2\pi \end{array}$

und außerhalb durch $2\pi$-periodische Fortsetzung. Zeigen Sie, dass die Fourierreihe $S_f(t)$ von $f(t)$

Zusatz aus TUWEL von Prof. : Berechnen Sie die reelle Fourier-Reihe der gegebenen Funktion $f(t)$

Hilfreiches

Beispiel 8.20 im orangenen Mathebuch, Seite 356 (2. Auflage)

Es gilt:

$f(t)=-f(-t)\Rightarrow a_n=0,\mathrm{\forall }n$

$f(t)=f(-t)\Rightarrow b_n=0,\mathrm{\forall }n$

Lösung

Fourierreihe lautet:

$S_f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b_n\ast \sin \left(n\omega t\right))$

Aus der obigen "Regel" ist $\frac{a_0}{2}=0$ deshalb fällt der Koeffizient weg.

Jetzt müssen wir die Koeffizienten $b_n$ ausrechnen.

Es gilt (allgemein):

$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }h(t)\cdot \sin \left(n\omega t\right)\mathrm{d}tn\ge 1$

$\omega$ ist aufgrund der Grenzen $1$

Jetzt muss das Ganze integriert werden und die gegebenen Grenzen eingesetzt werden:

$b_n=\frac{1}{\pi }[{\int }_0^{\pi }\sin \left(nt\right)\mathrm{d}t+{\int }_{\pi }^{2\pi }\sin \left(nt\right)\mathrm{d}t]$

$b_n=\frac{1}{\pi }[\frac{-\cos (nt)}{n}{|}_0^{\pi }+\frac{\cos (nt)}{n}{|}_{\pi }^{2\pi }]$

$b_n=\frac{1}{n}\pi (-\cos (n\pi )+cos(0)+cos(2n\pi )-cos(n\pi ))$

$cos(0)=1$ und $cos(2n\pi )=1$

Daraus folgt: (Zusatz: $cos(n\pi )=(-1{)}^n$)

$b_n=\frac{1}{n\pi }(2-2\cos (n\pi ))=\frac{2}{n\pi }(1-(-1{)}^n)$ für $=\{\begin{array}{c}0,n\text{ gerade}\\ \frac{4}{n\pi },n\text{ ungerade}\end{array}$

Somit in die Fourierreihe einsetzen:

$S_f(t)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{(2m+1)\pi }\ast \sin ((2m+1)\ast t)$

Diese Reihe konvergiert ...

• ... punktweise überall (bis auf die Unstetigkeitsstellen)
• ... gleichmäßig nur dort, wo es stetig ist.